Questão 3 Seja uma função diferenciável tal que
Considere a função . Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função que depende de duas variáveis, e , e queremos calcular a derivada de uma nova função no ponto . Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia. Precisamos saber as derivadas parciais de em (1,1) e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que queremos derivar:
Aqui, é uma função composta, onde passa por duas funções diferentes antes de entrar na função .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar . A regra da cadeia para funções de várias variáveis diz que:
Basicamente, a derivada de em relação a é a soma das derivadas parciais de multiplicadas pelas derivadas das funções internas.

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, substituindo:

Passo 5

Agora, vamos avaliar no ponto . Sabemos que:
Substituindo :

Resposta

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Questão 2 Considere a função .
(b) Determine a derivada direcional de no ponto na direção do vetor unitário .
Questão 1 Considere a função .
© Calcule as derivadas parciais de .
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Calcule as seguintes integrais indefinidas: