Questão 3 Seja
uma função diferenciável tal que
Considere a função
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
que depende de duas variáveis,
e
, e queremos calcular a derivada de uma nova função
no ponto
. Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia. Precisamos saber as derivadas parciais de
em (1,1) e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função que queremos derivar:
Aqui,
é uma função composta, onde
passa por duas funções diferentes antes de entrar na função
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar
. A regra da cadeia para funções de várias variáveis diz que:
Basicamente, a derivada de
em relação a
é a soma das derivadas parciais de
multiplicadas pelas derivadas das funções internas.
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, substituindo:
Passo 5
Agora, vamos avaliar
no ponto
. Sabemos que:
Substituindo
:
Resposta
Exercícios relacionados
Questão 2 Considere a função
.
(b) Determine a derivada direcional de no ponto
na direção do vetor unitário
.
(b) Determine a derivada direcional de
Questão 1 Considere a função
.
© Calcule as derivadas parciais de .
© Calcule as derivadas parciais de
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Calcule as seguintes integrais indefinidas: