Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral tg(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida de tg(x). Isso faz parte do cálculo integral, mais especificamente das integrais de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tg(x) é a mesma coisa que tan(x), que podemos escrever como sin(x)cos(x). Então, a integral fica:
integral tg(x) , dx = integral sin(x)cos(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos chamar u = cos(x). Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = -sin(x) Rightarrow du = -sin(x) , dx
Isso significa que sin(x) , dx = -du.

Passo 4

Substituindo u e du na integral, temos:
integral sin(x)cos(x) , dx = integral -duu = -integral 1u , du

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u:
-integral 1u , du = -ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo u = cos(x):
-ln|cos(x)| + C
Alternativamente, isso também pode ser escrito como:
ln|sec(x)| + C

Resposta

A integral de tg(x) é:
integral tg(x) , dx = -ln|cos(x)| + C

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