Determine os intervalos que contenham raízes, para cada uma das equações abaixo.
b)
;
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos encontrar intervalos nos quais essa equação tenha raízes. Isso envolve o estudo de funções polinomiais e o uso do Teorema do Valor Intermediário para identificar onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Passo 2
Vamos definir a função
. Nosso objetivo é encontrar intervalos
onde
e
tenham sinais opostos, ou seja, um seja positivo e o outro negativo. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve ter pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular
para alguns valores de
para identificar onde ocorre a mudança de sinal.
-
Para
: Então,(negativo). -
Para
: Então,(negativo). -
Para
: Então,(positivo). -
Para
: Então,(positivo).
Passo 4
Observando os valores calculados:
- Entre
e , permanece negativo ( e ). - Entre
e , muda de para , passando por zero. - Entre
e , permanece positivo ( e ).
Passo 5
Como a função muda de negativa para positiva entre
e
, podemos concluir, pelo Teorema do Valor Intermediário, que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Resposta
A equação
possui pelo menos uma raiz no intervalo
.