Prove que f(x) = x^2 é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é para provar que a função é contínua. Isso faz parte do estudo de Análise Matemática, especificamente sobre o conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como demonstrar essa propriedade usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite de conforme se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para provar que é contínua, precisamos mostrar que para todo no domínio da função, a condição acima é satisfeita.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Sabemos que, para funções polinomiais como , os limites podem ser calculados diretamente substituindo por :

Passo 4

Agora, vamos verificar o valor da função no ponto :

Passo 5

Comparando os resultados, temos:
Isso satisfaz a condição para continuidade no ponto .

Passo 6

Como o ponto foi escolhido de maneira genérica, isso significa que a função é contínua em todos os pontos do seu domínio.

Resposta

Portanto, provamos que a função é contínua em todos os pontos do seu domínio.

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