Prove que
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é para provar que a função
é contínua. Isso faz parte do estudo de Análise Matemática, especificamente sobre o conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como demonstrar essa propriedade usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
conforme
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para provar que
é contínua, precisamos mostrar que para todo
no domínio da função, a condição acima é satisfeita.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Sabemos que, para funções polinomiais como
, os limites podem ser calculados diretamente substituindo
por
:
Passo 4
Agora, vamos verificar o valor da função no ponto
:
Passo 5
Comparando os resultados, temos:
Isso satisfaz a condição para continuidade no ponto
.
Passo 6
Como o ponto
foi escolhido de maneira genérica, isso significa que a função
é contínua em todos os pontos do seu domínio.
Resposta
Portanto, provamos que a função
é contínua em todos os pontos do seu domínio.