Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral tg^3 x sec ^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral tg^3 x sec^5 x , dx. Aqui estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente tangente e secante. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tg^3 x de uma forma que facilite a integração. Lembre-se que , mas aqui é mais útil usar a identidade tg x = sen xcos x. Então,
tg^2 x = sec^2 x - 1

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral tg^3 x sec^5 x , dx = integral tg x (sec^2 x - 1) sec^5 x , dx
Simplificando:
integral tg x (sec^7 x - sec^5 x) , dx

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:
integral tg x sec^7 x , dx - integral tg x sec^5 x , dx
Agora, vamos fazer uma substituição para cada integral. Observamos que a derivada de sec x é sec x tg x, então podemos deixar u = sec x. Portanto, du = sec x tg x , dx.

Passo 5

Para a primeira integral:
integral tg x sec^7 x , dx = integral u^6 , du = u^77 + C
Para a segunda integral:
integral tg x sec^5 x , dx = integral u^4 , du = u^55 + C

Resposta

Juntando as duas partes, temos:
sec^7 x7 - sec^5 x5 + C
Onde C é a constante de integração.

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