Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral(x^3 ln x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida que é . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com a técnica de integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar quais partes da expressão vão ser e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula nos ajuda a transformar uma integral complicada em duas integrais mais simples. Nosso objetivo é escolher e de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln x e dv = x^3 dx
Escolhemos como porque sua derivada ( ) será mais simples, e como porque podemos facilmente integrar .

Passo 4

Agora, vamos calcular du = 1x dx e v = integral x^3 dx = x^44 :
Integramos para encontrar .

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^3 ln x , dx = uv - integral v , du = ln x cdot x^44 - integral x^44 cdot 1x dx
Simplificamos os termos para facilitar a resolução.

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
integral x^44 cdot 1x dx = 14 integral x^3 dx = 14 cdot x^44 = x^416
Aqui, integramos normalmente.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
integral x^3 ln x , dx = x^44 ln x - x^416 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^3 ln x , dx = x^44 ln x - x^416 + C

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