Determine: integral2 pi^3 pi(3 cos ^2 x sen x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Observamos que temos multiplicado por . Vamos fazer uma substituição onde .

Passo 3

Com , precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . A derivada de é , ou seja, . Isso significa que .

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
Aqui, simplificamos a integral usando a substituição que fizemos.

Passo 5

Vamos integrar -3 integral u^2 , du = -3 ( u^33 ) + C = -u^3 + C em relação a :
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante de integração .

Passo 6

Agora, substituímos - (cos x)^3 de volta na expressão:
E avaliamos essa expressão nos limites de integração de a .

Passo 7

Vamos calcular:
- (cos 3pi)^3 + (cos 2pi)^3
Sabemos que - (-1)^3 + (1)^3 = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2 e . Então:

Resposta

O valor da integral é 2.

Exercícios relacionados