Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral x raiz[3]2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente integração de funções que combinam polinômios e radiciação. Vamos precisar manipular as potências e possivelmente fazer uma substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão x raiz[3]2x = x cdot (2x)^1/3 . Sabemos que x cdot (2x)^1/3 = 2^1/3 cdot x^1 + 1/3 = 2^1/3 cdot x^4/3 pode ser escrita como . Então, a expressão fica:
Como é o mesmo que , podemos combinar as potências de :

Passo 3

Agora, nossa integral fica mais simples:
integral x raiz[3]2x , dx = 2^1/3 integral x^4/3 , dx
Vamos integrar . Lembrando que a integral de é , onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integral:
integral x^4/3 , dx = x^7/37/3 + C = 37 x^7/3 + C
Multiplicando pelo 2^1/3 cdot 37 x^7/3 + C = 3 cdot 2^1/37 x^7/3 + C que estava fora da integral:

Resposta

A integral indefinida é .

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