Faça uma substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve substituição trigonométrica, que é uma técnica usada em cálculo para simplificar integrais que contêm expressões quadráticas sob uma raiz. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar uma substituição trigonométrica adequada que simplifique a expressão.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão se assemelha à forma , onde é uma constante. Nesse caso, , então . A forma sugere que podemos usar a substituição trigonométrica:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 3
Agora, precisamos expressar em termos de . Diferenciando ambos os lados da equação em relação a , temos:
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral:
Cancelando e :
Passo 6
A integral de é conhecida e é igual a mais uma constante de integração. Portanto:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que:
Dividindo ambos os lados por :
Usando um triângulo retângulo, onde o cateto oposto é e a hipotenusa é , o cateto adjacente será . Assim:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.