Faça uma substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais:
integral d xx raiz5-x^2

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve substituição trigonométrica, que é uma técnica usada em cálculo para simplificar integrais que contêm expressões quadráticas sob uma raiz. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar uma substituição trigonométrica adequada que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão x = a sin theta se assemelha à forma x = raiz5 sin theta , onde é uma constante. Nesse caso, , então . A forma sugere que podemos usar a substituição trigonométrica:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 3

Agora, precisamos expressar dx = raiz5 cos theta , dtheta em termos de . Diferenciando ambos os lados da equação em relação a , temos:

Passo 4

Substituímos integral dxx raiz5 - x^2 = integral raiz5 cos theta , dthetaraiz5 sin theta cdot raiz5 - 5 sin^2 theta e 5 - x^2 = 5 - 5 sin^2 theta = 5(1 - sin^2 theta) = 5 cos^2 theta na integral original:
raiz5 - x^2 = raiz5 cos theta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
integral raiz5 cos theta , dthetaraiz5 sin theta cdot raiz5 cos theta = integral raiz5 cos theta , dtheta5 sin theta cos theta
Cancelando integral dtheta5 sin theta = 15 integral csc theta , dtheta e :

Passo 6

A integral de 15 integral csc theta , dtheta = -15 ln|csc theta + cot theta| + C é conhecida e é igual a mais uma constante de integração. Portanto:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x = raiz5 sin theta . Sabemos que:
sin theta = xraiz5
Dividindo ambos os lados por csc theta = 1sin theta = raiz5x :
cot theta = cos thetasin theta = raiz5 - x^2x
Usando um triângulo retângulo, onde o cateto oposto é e a hipotenusa é , o cateto adjacente será . Assim:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
-15 ln|raiz5x + raiz5 - x^2x| + C = -15 ln|raiz5 + raiz5 - x^2x| + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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