Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(k) integral x^2raiz1-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais envolvendo raízes e polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir . Essa escolha é útil porque a raiz ficará simplesmente , facilitando a integração.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de du = -dx ou seja, dx = -du em relação a x = 1 - u :
Também precisamos expressar em termos de :
Portanto, .

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral x^2raiz1-x , dx = integral 1 - 2u + u^2raizu cdot (-du)
Simplificando:
- integral 1 - 2u + u^2u^1/2 , du = - integral ( u^-1/2 - 2u^1/2 + u^3/2 ) , du

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
- ( integral u^-1/2 , du - 2 integral u^1/2 , du + integral u^3/2 , du )
Lembrando que , onde é a constante de integração.

Passo 6

Calculando as integrais:
- ( 2u^1/2 - 43u^3/2 + 25u^5/2 ) + C
Distribuindo o sinal negativo:
-2u^1/2 + 43u^3/2 - 25u^5/2 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos -2raiz1 - x + 43(1 - x)^3/2 - 25(1 - x)^5/2 + C de volta na expressão:

Resposta

integral x^2raiz1-x , dx = -2raiz1 - x + 43(1 - x)^3/2 - 25(1 - x)^5/2 + C

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