Determine se existe um valor de
para o qual a função
dada seja contínua:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer saber se existe um valor de
nos números reais que faça a função
ser contínua. A função está definida por partes:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto, e como calcular limites de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida em
. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em
. Então, vamos verificar essas três condições para
.
Passo 3
Primeiro, a função está definida em
como
. Isso atende à primeira condição.
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Simplificando o numerador e o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite:
Quando
se aproxima de
, o denominador
se aproxima de
. Dependendo de como
se aproxima de
, o valor de
pode crescer sem limite positivo ou negativo.
- Se
se aproxima de pela direita ( ), é positivo e tende a , então vai para . - Se
se aproxima de pela esquerda ( ), é negativo e tende a , então vai para .
Passo 5
Como os limites laterais são diferentes (um vai para
e o outro para
), o limite geral
não existe. Isso significa que não há um valor real de
que possa igualar
a esse limite inexistente.
Resposta
Não, não existe nenhum valor real de
que torne a função
contínua em
.