Determine se existe um valor de a in R para o qual a função f(x) dada seja contínua: f(x) = { (3x + 3) / (x^2 + 2x + 1) se x != -1; a se x = -1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer saber se existe um valor de nos números reais que faça a função ser contínua. A função está definida por partes:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto, e como calcular limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em .
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em . Então, vamos verificar essas três condições para .

Passo 3

Primeiro, a função está definida em como . Isso atende à primeira condição.
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Simplificando o numerador e o denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite:
Quando se aproxima de , o denominador se aproxima de . Dependendo de como se aproxima de , o valor de pode crescer sem limite positivo ou negativo.
  • Se se aproxima de pela direita ( ), é positivo e tende a , então vai para .
  • Se se aproxima de pela esquerda ( ), é negativo e tende a , então vai para .

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes (um vai para e o outro para ), o limite geral não existe. Isso significa que não há um valor real de que possa igualar a esse limite inexistente.

Resposta

Não, não existe nenhum valor real de que torne a função contínua em .

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