Determine se existe um valor de a in R para o qual a função f(x) dada seja contínua: f(x)= x^2+2 x-15x-3 & se x<3 a & se x=3 sen(x-3)x-3 & se x>3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se existe um valor real para que faça a função ser contínua. A função está definida em pedaços diferentes dependendo de ser menor, igual ou maior que 3. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Básicamente, para que seja contínua em , três condições devem ser satisfeitas:
  1. A função está definida em .
  2. O limite de quando se aproxima de 3 existe.
  3. O valor da função em 3 é igual ao limite.
Aqui, a função está definida em como . Então, precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de 3 pela esquerda e pela direita e ver se podemos escolher um que iguale esses limites.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3) se aproxima de 3 vindo dos valores menores que 3. A função nesse intervalo é f(x) = (x + 5)(x - 3)x - 3 = x + 5 para x neq 3 .
Simplificando o numerador:
limx to 3^- f(x) = 3 + 5 = 8
Então, a função fica:
Portanto, o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando limh to 0 sen(h)h = 1 se aproxima de 3 vindo dos valores maiores que 3. A função nesse intervalo é .
Sabemos que:
Aqui, substituindo limx to 3^+ sen(x - 3)x - 3 = 1 , temos:

Passo 5

Para a função ser contínua em limx to 3^- f(x) = 8 , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais, e também devem ser iguais ao valor da função em 3 ( limx to 3^+ f(x) = 1 ).
Temos:
Para que esses limites sejam iguais, deve ser igual a , o que não é possível.

Resposta

Não existe um valor de que torne a função contínua em .

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