Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral 3 x^2 raizx^3+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos definir:
u = x^3 + 1
Isso significa que estamos escolhendo para simplificar a parte dentro da raiz quadrada.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 , dx para substituir na integral. Derivando :
Então, podemos escrever:
Isso é ótimo porque tem o que aparece na nossa integral original.

Passo 4

Vamos substituir integral 3x^2 raizx^3+1 , dx = integral raizu , du e na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 5

Agora, vamos integrar integral raizu , du = integral u^1/2 , du em relação a integral u^n , du = u^n+1n+1 + C :
integral u^1/2 , du = u^3/23/2 + C = 23 u^3/2 + C
Usando a regra da potência para integrais, sabemos que:
Aplicando isso com :

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original 23 u^3/2 + C = 23 (x^3 + 1)^3/2 + C substituindo :

Resposta

A integral indefinida é:
integral 3x^2 raizx^3+1 , dx = 23 (x^3 + 1)^3/2 + C

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