Encontre a raiz real da equação , com precisão de 6 casas decimais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a raiz real da equação com precisão de 6 casas decimais. Isso significa que queremos descobrir o valor de que satisfaz essa equação.
Para resolver essa equação, vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar aproximações sucessivamente melhores de raízes de uma função. Precisamos conhecer a derivada da função para aplicar esse método.

Passo 2

Vamos reescrever a equação para facilitar a aplicação do método. Definimos a função:
Queremos encontrar o valor de onde .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada dessa função, que é necessária para o método de Newton-Raphson. A derivada de em relação a é:

Passo 4

Escolhemos um valor inicial próximo da raiz que estamos procurando. Vamos testar :
Como e queremos , precisamos ajustar nosso palpite. Testamos :
Como e , sabemos que a raiz está entre 0 e 1.

Passo 5

Aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
Vamos começar com .

Passo 6

Calculamos e :
Agora, aplicamos a fórmula:

Passo 7

Repetimos o processo com :
Aplicamos novamente a fórmula:

Passo 8

Continuamos com :
Como é aproximadamente 0, encontramos nossa raiz com a precisão desejada.

Resposta

A raiz real da equação com precisão de 6 casas decimais é aproximadamente .

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