Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral indefinida
. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. Ela é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher o que será
e o que será
. Para a nossa integral, uma boa escolha é:
Passo 3
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a nova integral
usando novamente a integração por partes. Vamos definir:
Passo 5
Aplicando a integração por partes novamente:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, observamos que a integral
aparece novamente. Vamos chamar essa integral de
:
Substituindo na expressão anterior:
Distribuindo o
:
Passo 7
Agora, vamos isolar
. Primeiro, movemos o termo com
para o lado esquerdo:
Somando os termos com
:
Multiplicando ambos os lados por
para resolver para
:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.