Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral e^3 x sen(4 x) d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. Ela é baseada na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será u = e^3x Rightarrow du = 3e^3x , dx e o que será dv = sin(4x) , dx Rightarrow v = -14 cos(4x) . Para a nossa integral, uma boa escolha é:

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^3x sin(4x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores:
= e^3x cdot (-14 cos(4x)) - integral (-14 cos(4x)) cdot 3e^3x , dx
Simplificando:
= -14 e^3x cos(4x) + 34 integral e^3x cos(4x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral u = e^3x Rightarrow du = 3e^3x , dx usando novamente a integração por partes. Vamos definir:
dv = cos(4x) , dx Rightarrow v = 14 sin(4x)

Passo 5

Aplicando a integração por partes novamente:
integral e^3x cos(4x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
= e^3x cdot 14 sin(4x) - integral 14 sin(4x) cdot 3e^3x , dx
Simplificando:
= 14 e^3x sin(4x) - 34 integral e^3x sin(4x) , dx

Passo 6

Agora, observamos que a integral I = integral e^3x sin(4x) , dx aparece novamente. Vamos chamar essa integral de I = -14 e^3x cos(4x) + 34 ( 14 e^3x sin(4x) - 34 I ) :
I = -14 e^3x cos(4x) + 316 e^3x sin(4x) - 916 I
Substituindo na expressão anterior:
Distribuindo o :

Passo 7

Agora, vamos isolar I + 916 I = -14 e^3x cos(4x) + 316 e^3x sin(4x) . Primeiro, movemos o termo com 2516 I = -14 e^3x cos(4x) + 316 e^3x sin(4x) para o lado esquerdo:
I = 1625 ( -14 e^3x cos(4x) + 316 e^3x sin(4x) )
Somando os termos com I = -425 e^3x cos(4x) + 325 e^3x sin(4x) :
Multiplicando ambos os lados por para resolver para :
Simplificando:

Resposta

A integral integral e^3x sin(4x) , dx = e^3x25 ( 3 sin(4x) - 4 cos(4x) ) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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