Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 1(x-3)(x+5)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral 1(x-3)(x+5)^2 , dx
Esse tipo de integral envolve frações racionais, onde a gente pode usar frações parciais para simplificar e integrar mais facilmente. Então, vamos precisar entender como decompor a fração em partes menores que a gente já sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração 1(x-3)(x+5)^2 = Ax-3 + Bx+5 + C(x+5)^2 como uma soma de frações parciais. Como temos um fator linear e um fator quadrático , a decomposição fica assim:
Aqui, , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados por 1 = A(x+5)^2 + B(x-3)(x+5) + C(x-3) para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar essa expressão para encontrar , e .

Passo 4

Vamos escolher valores de 1 = A(3+5)^2 + B(0) + C(0) Rightarrow 1 = A cdot 64 Rightarrow A = 164 que simplificam a equação:
  • Para 1 = A(0) + B(-5-3)(0) + C(-5-3) Rightarrow 1 = C(-8) Rightarrow C = -18 :
1 = 164(0+5)^2 + B(0-3)(0+5) + (-18)(0-3)
  • Para 1 = 2564 + B(-15) + 38 :
1 = 2564 + 2464 - 15B Rightarrow 1 = 4964 - 15B
Agora, para encontrar 15B = 4964 - 1 = -1564 Rightarrow B = -1564 div 15 = -164 , podemos escolher outro valor de , por exemplo, :

Passo 5

Agora que temos integral ( 1/64x-3 - 1/64x+5 - 1/8(x+5)^2 ) , dx , 164 integral 1x-3 , dx - 164 integral 1x+5 , dx - 18 integral 1(x+5)^2 , dx e , podemos reescrever a integral:
Vamos separar em integrais individuais:

Passo 6

Vamos resolver cada integral:
  1. 164 ln|x-3| - 164 ln|x+5| - 18 (-1x+5) + C
  2. = 164 ln|x-3x+5| + 18(x+5) + C
Então, substituindo de volta:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
164 ln|x-3x+5| + 18(x+5) + C
onde é a constante de integração.

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