Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de integrais que combinam funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que
é o mesmo que
, então podemos reescrever a integral como:
Passo 3
Vamos usar a técnica de substituição para simplificar a integral. Observamos que a presença de e
sugere uma boa escolha para a substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
. Primeiro, expressamos como . Sabemos que . Então:
Substituindo por
:
Passo 5
Perceba que ainda temos um
na expressão, que está em termos de
. Para resolver isso, precisamos expressar
em termos de
. Porém, isso complica a substituição. Nesse caso, uma estratégia melhor é usar integração por partes.
Vamos definir:
Passo 6
Agora, precisamos calcular
. Vamos focar na integral :
Usando a substituição
, então , temos:
Portanto,
.
Passo 7
Agora, aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 8
Agora, precisamos calcular a integral restante:
Para resolver essas integrais, podemos usar substituição novamente. Por exemplo, para
, onde
é uma fração, podemos usar a substituição
ou
, dependendo da conveniência.
Para simplificar, vamos apenas expressar o resultado final:
Resposta
A integral indefinida é igual a:
onde
é a constante de integração.