Determine se existe um valor de a in R para o qual a função f(x) dada seja contínua: f(x) = { e^(1/x) se x<0; a se x=0; ln(raiz(1+x)) se x>0 }

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre continuidade de funções. A função dada é:
Nosso objetivo é encontrar se existe um valor real que faça essa função ser contínua em . Para isso, precisamos calcular os limites laterais de quando se aproxima de 0 e verificar se eles são iguais ao valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Quando se aproxima de 0 pela esquerda, é um número negativo muito pequeno, então tende a . Sabemos que:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Podemos simplificar essa expressão:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Para que a função seja contínua em , os limites laterais devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função em . Ou seja:
Dos cálculos anteriores, vimos que ambos os limites laterais são iguais a 0. Portanto, para a continuidade:

Resposta

Sim, existe um valor que torna a função contínua em .

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