Considerando que f(x)=3-x^22, se x >= 1 e f(x)=raizx+3-2x-1, se x<1. Uma função f é contínua em um ponto p não isolado do seu domínio se lim x p f(x)=f(p). Pode-se afirmar que a f dada no enunciado é contínua em p=1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função que tem duas partes diferentes dependendo do valor de :
  • Se , então .
  • Se , então .
A questão pergunta se essa função é contínua no ponto . Pra resolver isso, a gente precisa entender o que é continuidade. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras” ou “saltos” naquele ponto. Mais tecnicamente, é contínua em se:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. Esse limite é igual a .
Vamos seguir esses passos pra ver se a função é contínua em .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(1) = 3 - 1^22 = 3 - 12 = 62 - 12 = 52 = 2,5 . Como , usamos a primeira parte da função:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (3 - x^22) = 3 - 1^22 = 3 - 12 = 52 = 2,5 quando se aproxima de pela direita, ou seja, . Nesse caso, , então usamos a primeira parte da função:
Portanto, o limite pela direita é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de limx to 1^- f(x) = limx to 1^- raizx + 3 - 2x - 1 quando raizx + 3 - 2x - 1 times raizx + 3 + 2raizx + 3 + 2 = (x + 3) - 4(x - 1)(raizx + 3 + 2) = x - 1(x - 1)(raizx + 3 + 2) = 1raizx + 3 + 2 se aproxima de limx to 1^- 1raizx + 3 + 2 = 1raiz1 + 3 + 2 = 12 + 2 = 14 = 0,25 pela esquerda, ou seja, . Nesse caso, , então usamos a segunda parte da função:
Esse limite parece complicado, mas podemos simplificar usando a técnica de multiplicar pelo conjugado:
Agora, podemos calcular o limite:
Então, o limite pela esquerda é .

Passo 5

Agora que temos:
Observamos que os limites pela direita e pela esquerda não são iguais.

Resposta

Como os limites laterais em são diferentes ( pela direita e pela esquerda) e não coincidem com , a função não é contínua em .

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