Considerando que
, se
e
, se
. Uma função
é contínua em um ponto
não isolado do seu domínio se
. Pode-se afirmar que a
dada no enunciado é contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função
que tem duas partes diferentes dependendo do valor de
:
- Se
, então . - Se
, então .
A questão pergunta se essa função é contínua no ponto
. Pra resolver isso, a gente precisa entender o que é continuidade. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras” ou “saltos” naquele ponto. Mais tecnicamente,
é contínua em
se:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - Esse limite é igual a
.
Vamos seguir esses passos pra ver se a função é contínua em
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Como
, usamos a primeira parte da função:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela direita, ou seja,
. Nesse caso,
, então usamos a primeira parte da função:
Portanto, o limite pela direita é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda, ou seja,
. Nesse caso,
, então usamos a segunda parte da função:
Esse limite parece complicado, mas podemos simplificar usando a técnica de multiplicar pelo conjugado:
Agora, podemos calcular o limite:
Então, o limite pela esquerda é
.
Passo 5
Agora que temos:
Observamos que os limites pela direita e pela esquerda não são iguais.
Resposta
Como os limites laterais em
são diferentes (
pela direita e
pela esquerda) e não coincidem com
, a função
não é contínua em
.