A partir da equação dada a seguir, definir duas funções de duas variáveis, determinando seu domínio.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação
, que representa uma esfera no espaço. Nosso objetivo é definir duas funções que dependem de duas variáveis cada, baseadas nessa equação, e descobrir para quais valores dessas variáveis as funções são válidas (ou seja, determinar o domínio delas). Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e álgebra, especialmente manipulação de equações quadráticas.
Passo 2
Vamos começar isolando uma das variáveis na equação da esfera. Vamos resolver a equação para
em termos de
e
. Isso nos dará uma função que expressa
como uma função de
e
.
A equação original é:
Isolando
:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
E também:
Assim, temos duas funções:
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio dessas funções. O domínio são todos os pares
para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa, pois não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo na matemática real.
Portanto, precisamos que:
Rearranjando a inequação:
Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio 3 no plano
. Logo, o domínio das funções
e
é todos os pontos
que estão dentro ou sobre esse círculo.
Resposta
As duas funções definidas a partir da equação dada são:
O domínio de ambas as funções é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a inequação: