A partir da equação dada a seguir, definir duas funções de duas variáveis, determinando seu domínio.
x^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 9

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação , que representa uma esfera no espaço. Nosso objetivo é definir duas funções que dependem de duas variáveis cada, baseadas nessa equação, e descobrir para quais valores dessas variáveis as funções são válidas (ou seja, determinar o domínio delas). Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e álgebra, especialmente manipulação de equações quadráticas.

Passo 2

Vamos começar isolando uma das variáveis na equação da esfera. Vamos resolver a equação para em termos de e . Isso nos dará uma função que expressa como uma função de e .
A equação original é:
Isolando :
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
E também:
Assim, temos duas funções:

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio dessas funções. O domínio são todos os pares para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa, pois não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo na matemática real.
Portanto, precisamos que:
Rearranjando a inequação:
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio 3 no plano . Logo, o domínio das funções e é todos os pontos que estão dentro ou sobre esse círculo.

Resposta

As duas funções definidas a partir da equação dada são:
O domínio de ambas as funções é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a inequação:

Exercícios relacionados