Determine os limites: lim x 0 sen^2 x1-cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está ligado ao estudo de limites em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que sen^2 x1 - cos x = 1 - cos(2x)21 - cos x = 1 - cos(2x)2(1 - cos x) . Vamos substituir isso na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da identidade trigonométrica 1 - cos x = 2 sen^2 (x2) . Aplicando isso no denominador:
1 - cos(2x)2 cdot 2 sen^2 (x2) = 1 - cos(2x)4 sen^2 (x2)
Substituindo de volta na expressão:

Passo 4

Vamos simplificar 1 - cos(2x) = 2 sen^2 x usando a mesma identidade:
2 sen^2 x4 sen^2 (x2) = sen^2 x2 sen^2 (x2)
Então, substituindo:

Passo 5

Agora, usamos a propriedade de que sen x approx x e sen (x2) approx x2 quando x^22 (x2)^2 = x^22 cdot x^24 = x^2x^22 = 2 está próximo de 0. Assim:
Substituindo na expressão:

Resposta

Portanto, o limite é igual a .

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