Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral(3 x+2)^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de (3x + 2)^4 em relação a x. Aqui, estamos trabalhando com integração por substituição, uma técnica fundamental em cálculo para resolver integrais mais complicadas. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 3x + 2
Essa substituição nos ajuda a simplificar o integrando.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 3
Então, podemos expressar dx em termos de du:
dx = du3

Passo 4

Substituindo u e dx na integral original, temos:
integral (3x + 2)^4 , dx = integral u^4 cdot du3 = 13 integral u^4 , du
Agora, a integral está em uma forma mais simples.

Passo 5

Vamos integrar u^4 em relação a u:
integral u^4 , du = u^55 + C
Multiplicando pelo fator 13 que havia fora da integral:
13 cdot u^55 + C = u^515 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x, substituindo u = 3x + 2:
(3x + 2)^515 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral (3x + 2)^4 , dx = (3x + 2)^515 + C

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