Mostre que a substituição z = a*x + b*y + c transforma a equação y' = f(a x + b y + c) numa equação de variáveis separáveis. Aplique esse método para resolver as equações
8a) y' = (x + y)²

Passo 1

Vamos resolver o exercício 8a, que pede para mostrar que a substituição transforma a equação diferencial em uma equação de variáveis separáveis. Depois, vamos aplicar esse método para resolver a equação dada.

Passo 2

Primeiro, entendemos que é a derivada de em relação a . A equação dada é , que não é de variáveis separáveis inicialmente. Precisamos fazer uma substituição para simplificar.

Passo 3

Vamos usar a substituição sugerida: . Nosso objetivo é escolher , e de forma que a equação resultante seja de variáveis separáveis.

Passo 4

Assumindo que (ou seja, , e ), pois na equação original temos ao quadrado. Então, definimos:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 6

Substituímos da equação original na expressão de :

Passo 7

Agora temos a equação:
Essa é uma equação de variáveis separáveis, pois podemos escrever:

Passo 8

Integramos ambos os lados:
Sabemos que , então:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvemos para :
Lembrando que , então:

Passo 10

Isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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