Mostre que a substituição
transforma a equação
numa equação de variáveis separáveis. Aplique esse método para resolver as equações
8a)
8a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício 8a, que pede para mostrar que a substituição
transforma a equação diferencial
em uma equação de variáveis separáveis. Depois, vamos aplicar esse método para resolver a equação dada.
Passo 2
Primeiro, entendemos que
é a derivada de
em relação a
. A equação dada é
, que não é de variáveis separáveis inicialmente. Precisamos fazer uma substituição para simplificar.
Passo 3
Vamos usar a substituição sugerida:
. Nosso objetivo é escolher
,
e
de forma que a equação resultante seja de variáveis separáveis.
Passo 4
Assumindo que
(ou seja,
,
e
), pois na equação original temos
ao quadrado. Então, definimos:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 6
Substituímos
da equação original na expressão de
:
Passo 7
Agora temos a equação:
Essa é uma equação de variáveis separáveis, pois podemos escrever:
Passo 8
Integramos ambos os lados:
Sabemos que
, então:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvemos para
:
Lembrando que
, então:
Passo 10
Isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante real.