Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para .
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, vamos encontrar uma função potencial escalar para ele. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar. Para verificar isso, uma das maneiras é calcular a “rotacional” do campo. Se a rotacional for zero, o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial:
onde:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para encontrar a rotacional. Lembrando que, em duas dimensões, a rotacional de é dada por:

Passo 5

Vamos calcular :

Passo 6

Agora, vamos calcular :

Passo 7

Agora, vamos calcular a rotacional:

Passo 8

Observamos que a rotacional é . Para o campo ser conservativo, a rotacional deve ser igual a zero em todo ponto do domínio. No entanto, isso só acontece se ou , o que não é verdade para todos os pontos.

Resposta

O campo vetorial dado não é conservativo porque sua rotacional não é zero em geral.

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