Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para
.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, vamos encontrar uma função potencial escalar para ele. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar. Para verificar isso, uma das maneiras é calcular a “rotacional” do campo. Se a rotacional for zero, o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial:
onde:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para encontrar a rotacional. Lembrando que, em duas dimensões, a rotacional de
é dada por:
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a rotacional:
Passo 8
Observamos que a rotacional é
. Para o campo ser conservativo, a rotacional deve ser igual a zero em todo ponto do domínio. No entanto, isso só acontece se
ou
, o que não é verdade para todos os pontos.
Resposta
O campo vetorial dado não é conservativo porque sua rotacional não é zero em geral.
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