Encontre todas as funções tais que o campo vetorial
é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão pede para a gente encontrar todas as funções que fazem com que o campo vetorial
seja conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que
Uma propriedade fundamental dos campos conservativos é que seu rotacional é nulo, ou seja:
Então, para que o campo dado seja conservativo, precisamos que o rotacional dele seja igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Vamos identificar as componentes de :

Passo 4

Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 5

Como o rotacional deve ser zero para ser conservativo, igualamos cada componente a zero:
  1. Componente :
Integrando em relação a :
onde é uma função que depende apenas de e .
  1. Componente :
    Já verificamos que essa componente é zero, então não adiciona restrições.
  2. Componente :
Substituindo :
Integrando em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Resposta

Portanto, todas as funções que tornam um campo conservativo são dadas por:
onde é uma função arbitrária de .

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Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para .
b)
Calcule as seguintes integrais definidas: (1,0 pts) , em que
Calcule as seguintes integrais indefinidas: (1,0 pts)
Calcule as seguintes integrais indefinidas: (1,0 pts)