Encontre todas as funções
tais que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A questão pede para a gente encontrar todas as funções
que fazem com que o campo vetorial
seja conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existir uma função potencial
tal que
Uma propriedade fundamental dos campos conservativos é que seu rotacional é nulo, ou seja:
Então, para que o campo
dado seja conservativo, precisamos que o rotacional dele seja igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional
é dado por:
Vamos identificar as componentes de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 5
Como o rotacional deve ser zero para
ser conservativo, igualamos cada componente a zero:
- Componente
:
Integrando em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
e
.
-
Componente
:
Já verificamos que essa componente é zero, então não adiciona restrições. -
Componente
:
Substituindo
:
Integrando em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Resposta
Portanto, todas as funções
que tornam
um campo conservativo são dadas por:
onde
é uma função arbitrária de
.
Exercícios relacionados
Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para
.
b)
b)
Calcule as seguintes integrais definidas: (1,0 pts)
, em que
Calcule as seguintes integrais indefinidas: (1,0 pts)
Calcule as seguintes integrais indefinidas: (1,0 pts)