Calcule as seguintes integrais indefinidas, usando integração por partes. integral x ln (3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x ln (3x) , dx usando integração por partes. Integração por partes é uma técnica útil quando a integral é do tipo produto de duas funções. Vamos precisar identificar qual parte da função será u e qual será dv para aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u e dv:
  • Escolha de u e dv:
    • Seja u = ln(3x). Assim, precisamos calcular a derivada de u, que é du.
    • Seja dv = x , dx. Assim, precisamos integrar dv para encontrar v.

Passo 3

Agora, calculamos du e v:
  • Calculando du:
    u = ln(3x) du = ddx[ln(3x)] , dx = 13x cdot 3 , dx = 1x , dx
  • Calculando v:
    dv = x , dx v = integral x , dx = 12x^2

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x ln(3x) , dx = ln(3x) cdot 12x^2 - integral 12x^2 cdot 1x , dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
integral x ln(3x) , dx = 12x^2 ln(3x) - 12 integral x , dx

Passo 5

Agora, resolvemos a integral restante:
integral x , dx = 12x^2
Substituindo de volta:
integral x ln(3x) , dx = 12x^2 ln(3x) - 12 cdot 12x^2 + C
integral x ln(3x) , dx = 12x^2 ln(3x) - 14x^2 + C

Resposta

integral x ln(3x) , dx = 12x^2 ln(3x) - 14x^2 + C

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