(1,5 pontos) Calcule o volume do sólido no primeiro octante, compreendido entre o cilindro circular
e o cilindro parabólico
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são positivos), limitado entre um cilindro circular dado por
e um cilindro parabólico dado por
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de volumes por integrais múltiplas, especialmente coordenadas cilíndricas, já que estamos trabalhando com cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que estão delimitando o sólido. O cilindro circular
é um cilindro com raio 3, centrado no eixo z. Já o cilindro parabólico
pode ser reescrito como
, mostrando que z depende de x.
Passo 3
Como estamos trabalhando no primeiro octante, os limites para as variáveis são:
-
vai de 0 até onde os dois cilindros se encontram. -
vai de 0 até (da equação do cilindro circular). -
vai de 0 até (da equação do cilindro parabólico).
Passo 4
Para encontrar onde os dois cilindros se intersectam, vamos igualar as duas equações:
Isso nos mostra que, para cada x, y está limitado por
e z por
.
Passo 5
Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cartesianas, o volume V é dado por:
Aqui, 3 é o raio do cilindro circular
, já que
varia de 0 a 3 no primeiro octante.
Passo 6
Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, integramos em relação a z:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a y:
Isso simplifica para:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, precisamos resolver a integral:
Fazendo uma substituição para simplificar, vamos usar
, o que transforma a integral em termos de θ. Isso facilita o cálculo, mas envolve alguns passos de trigonometria e cálculo de integrais de potências trigonométricas.
Passo 9
Após realizar a substituição e resolver a integral, encontramos que o volume é igual a:
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante é
unidades cúbicas.
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