(1,5 pontos) Calcule o volume do sólido no primeiro octante, compreendido entre o cilindro circular e o cilindro parabólico .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são positivos), limitado entre um cilindro circular dado por e um cilindro parabólico dado por . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de volumes por integrais múltiplas, especialmente coordenadas cilíndricas, já que estamos trabalhando com cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que estão delimitando o sólido. O cilindro circular é um cilindro com raio 3, centrado no eixo z. Já o cilindro parabólico pode ser reescrito como , mostrando que z depende de x.

Passo 3

Como estamos trabalhando no primeiro octante, os limites para as variáveis são:
  • vai de 0 até onde os dois cilindros se encontram.
  • vai de 0 até (da equação do cilindro circular).
  • vai de 0 até (da equação do cilindro parabólico).

Passo 4

Para encontrar onde os dois cilindros se intersectam, vamos igualar as duas equações:
Isso nos mostra que, para cada x, y está limitado por e z por .

Passo 5

Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cartesianas, o volume V é dado por:
Aqui, 3 é o raio do cilindro circular , já que varia de 0 a 3 no primeiro octante.

Passo 6

Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, integramos em relação a z:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a y:
Isso simplifica para:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, precisamos resolver a integral:
Fazendo uma substituição para simplificar, vamos usar , o que transforma a integral em termos de θ. Isso facilita o cálculo, mas envolve alguns passos de trigonometria e cálculo de integrais de potências trigonométricas.

Passo 9

Após realizar a substituição e resolver a integral, encontramos que o volume é igual a:

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável:
Calcule as seguintes integrais indefinidas, usando integração por partes.
Resolver com delta de dirac e fator integrante:
Resolver com delta de dirac e fator integrante: