Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável:
Passo 1
Beleza, vamos dar um gás nesse exercício! A gente precisa calcular a integral de
usando a técnica de mudança de variável. Basicamente, vamos substituir uma parte da expressão por outra variável para facilitar os cálculos. Para isso, vamos identificar qual parte da função pode ser substituída de forma inteligente.
Passo 2
Olha só, na integral temos
dentro do cosseno e também um
multiplicando. Aí, pensando bem, se a gente derivar
, o que dá
. Isso é super útil porque já temos um
lá na integral. Então, vamos escolher
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Temos:
Isso significa que:
E, rearranjando, fica:
Passo 4
Com essa substituição em mente, vamos trocar na integral original:
Passo 5
Aí, fica bem mais simples! Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, vamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral vale
.
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