Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável: integral x^3 cos (x^4) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar um gás nesse exercício! A gente precisa calcular a integral de usando a técnica de mudança de variável. Basicamente, vamos substituir uma parte da expressão por outra variável para facilitar os cálculos. Para isso, vamos identificar qual parte da função pode ser substituída de forma inteligente.

Passo 2

Olha só, na integral temos dentro do cosseno e também um multiplicando. Aí, pensando bem, se a gente derivar , o que dá . Isso é super útil porque já temos um lá na integral. Então, vamos escolher .

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 4x^3 em relação a du = 4x^3 , dx . Temos:
x^3 , dx = 14 , du
Isso significa que:
E, rearranjando, fica:

Passo 4

Com essa substituição em mente, vamos trocar na integral original:
integral x^3 cos(x^4) , dx = integral cos(u) cdot 14 , du = 14 integral cos(u) , du

Passo 5

Aí, fica bem mais simples! Sabemos que a integral de 14 integral cos(u) , du = 14 sin(u) + C em relação a é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos voltar para a variável original 14 sin(u) + C = 14 sin(x^4) + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral vale .

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