Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável:

Passo 1

Beleza, vamos dar um gás nesse exercício! A gente precisa calcular a integral de usando a técnica de mudança de variável. Basicamente, vamos substituir uma parte da expressão por outra variável para facilitar os cálculos. Para isso, vamos identificar qual parte da função pode ser substituída de forma inteligente.

Passo 2

Olha só, na integral temos dentro do cosseno e também um multiplicando. Aí, pensando bem, se a gente derivar , o que dá . Isso é super útil porque já temos um lá na integral. Então, vamos escolher .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Temos:
Isso significa que:
E, rearranjando, fica:

Passo 4

Com essa substituição em mente, vamos trocar na integral original:

Passo 5

Aí, fica bem mais simples! Sabemos que a integral de em relação a é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos voltar para a variável original . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável:
Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável:
Calcule as seguintes integrais indefinidas, usando integração por partes.
Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável: