Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável: integral sen(pi t) d t

Passo 1

Vamos resolver a integral integral sen(pi t) , dt usando a técnica de mudança de variável. Esse exercício pertence ao estudo do cálculo integral, especificamente ao método de substituição.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Vamos definir u = pi t. Isso significa que vamos substituir a parte interna da função seno por u.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de u em relação a t para substituir dt na integral:
dudt = pi Rightarrow du = pi , dt Rightarrow dt = dupi

Passo 4

Substituímos u e dt na integral original:
integral sen(pi t) , dt = integral sen(u) cdot dupi = 1pi integral sen(u) , du

Passo 5

Sabemos que a integral de sen(u) em relação a u é -cos(u) + C, onde C é a constante de integração. Então:
1pi integral sen(u) , du = 1pi (-cos(u)) + C = -1pi cos(u) + C

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u por pi t:
-1pi cos(u) + C = -1pi cos(pi t) + C

Resposta

integral sen(pi t) , dt = -1pi cos(pi t) + C

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