Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável: integral x(x^2+2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função em relação a , utilizando a técnica de mudança de variável. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente na área de integrais por substituição. Para resolver isso, vamos precisar aplicar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída para facilitar o cálculo. Observando a expressão u = x^2 + 2 , podemos pensar em substituí-la por uma nova variável. Vamos fazer:
dudx = 2x
Agora, vamos calcular a derivada de du = 2x , dx em relação a x , dx = du2 para encontrar :
Isso significa que:
Ou reorganizando:

Passo 3

Com essa substituição, vamos reescrever a integral original em termos de integral x(x^2+2)^2 , dx = integral 1u^2 cdot du2 :
12 integral u^-2 , du
Isso simplifica para:
integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C
Agora, vamos integrar 12 ( -1u ) + C = -12u + C :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Por fim, vamos voltar à variável original u = x^2 + 2 substituindo -12u + C = -12(x^2 + 2) + C de volta na expressão:
Então:

Resposta

A integral de -12(x^2 + 2) + C em relação a é:

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