Calcule as seguintes integrais: integral 18 d x(4 x^2+9)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 18 , dx(4x^2+9)^2. Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções racionais onde o denominador é um polinômio quadrático elevado ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir u = 2x. Assim, o diferencial du será 2 dx, ou seja, dx = du2. Substituindo x por u, a expressão 4x^2 + 9 se transforma em:
4x^2 + 9 = (2x)^2 + 9 = u^2 + 9
Então, a integral original fica:
integral 18 , dx(4x^2+9)^2 = integral 18 cdot du2(u^2+9)^2 = 9 integral du(u^2+9)^2

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral integral du(u^2+9)^2. Para isso, usamos uma fórmula padrão de integrais envolvendo quadrados no denominador. A fórmula é:
integral du(u^2 + a^2)^2 = u2 a^2 (u^2 + a^2) + 12 a^3 arctan(ua) + C
Aqui, a^2 = 9, então a = 3.

Passo 4

Aplicando a fórmula com a = 3, temos:
integral du(u^2+9)^2 = u2 cdot 9 (u^2 + 9) + 12 cdot 27 arctan(u3) + C = u18 (u^2 + 9) + 154 arctan(u3) + C
Multiplicando pela constante que tínhamos fora da integral:
9 cdot ( u18 (u^2 + 9) + 154 arctan(u3) ) = u2 (u^2 + 9) + 16 arctan(u3) + C

Passo 5

Agora, voltamos à variável original x. Lembrando que u = 2x, substituímos u de volta:
2x2 ((2x)^2 + 9) + 16 arctan(2x3) + C = 2x2 (4x^2 + 9) + 16 arctan(2x3) + C = x4x^2 + 9 + 16 arctan(2x3) + C

Resposta

A integral integral 18 , dx(4x^2+9)^2 é igual a:
x4x^2 + 9 + 16 arctan(2x3) + C

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