Calcule as seguintes integrais: integral d x(4+x^2)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está dentro do campo de Cálculo, mais especificamente nas técnicas de integração envolvendo funções racionais com potências. Vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para facilitar a integral. Vamos deixar . Com isso, a derivada de em relação a é .

Passo 3

Agora, substituímos integral 2 sec^2 theta , dtheta(4 + (2 tan theta)^2)^3/2 e na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
4 + (2 tan theta)^2 = 4 + 4 tan^2 theta = 4(1 + tan^2 theta) = 4 sec^2 theta
Então, temos:
(4 sec^2 theta)^3/2 = 8 sec^3 theta

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 2 sec^2 theta , dtheta8 sec^3 theta = 28 integral 1sec theta , dtheta = 14 integral cos theta , dtheta

Passo 6

Integrando 14 sin theta + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original sin theta = xraiz4 + x^2 . Sabemos que 14 cdot xraiz4 + x^2 + C = x4 raiz4 + x^2 + C , então:
Substituindo na expressão anterior:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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