Mostrar que cada uma das funções abaixo não tem derivada no ponto indicado:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a função
não tem derivada no ponto
. Isso envolve conceitos de derivada, que fala sobre a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto específico. Vamos usar o conceito de derivada para verificar se existe essa inclinação em
.
Passo 2
A derivada de uma função em um ponto pode ser calculada usando o limite da taxa de variação quando o intervalo se aproxima de zero. Matemáticamente, isso é expresso por:
Vamos aplicar isso à nossa função
no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela direita (
positivo) e pela esquerda (
negativo) separadamente para ver se ambos são iguais.
Pela direita (
):
Quando
,
.
Então,
Pela esquerda (
):
Quando
,
.
Então,
Passo 4
Observamos que os limites pela direita e pela esquerda não são iguais:
Como os limites não coincidem, o limite geral não existe.
Resposta
Portanto, a função
não tem derivada no ponto
.