Mostrar que cada uma das funções abaixo não tem derivada no ponto indicado:
y = |x - 1| ; x0 = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a função não tem derivada no ponto . Isso envolve conceitos de derivada, que fala sobre a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto específico. Vamos usar o conceito de derivada para verificar se existe essa inclinação em .

Passo 2

A derivada de uma função em um ponto pode ser calculada usando o limite da taxa de variação quando o intervalo se aproxima de zero. Matemáticamente, isso é expresso por:
Vamos aplicar isso à nossa função no ponto .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela direita ( positivo) e pela esquerda ( negativo) separadamente para ver se ambos são iguais.
Pela direita ( ):
Quando , .
Então,
Pela esquerda ( ):
Quando , .
Então,

Passo 4

Observamos que os limites pela direita e pela esquerda não são iguais:
Como os limites não coincidem, o limite geral não existe.

Resposta

Portanto, a função não tem derivada no ponto .

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