Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de uma fração algébrica:
Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de frações parciais. A ideia é quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Como o denominador é um produto de dois polinômios de segundo grau que não se fatoram mais, nossa fração vai se decompor da seguinte maneira:
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da igualdade por . Ficando assim:

Passo 4

Expandindo os produtos no lado direito:
Agora, vamos organizar os termos por potência de x:

Passo 5

Com isso, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de x:
  1. :
  2. :
  3. :
  4. Constante:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar A, B, C e D.

Passo 6

Da quarta equação, podemos simplificar:
Usando a primeira equação , podemos expressar C em termos de A:
Substituindo D e C nas outras equações:
Na segunda equação:
Então, C = 2 - 0 = 2.
Agora, voltando à terceira equação:
E como D = -B:

Passo 7

Agora que temos A, B, C e D, substituímos de volta na decomposição:
Simplificando:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 8

Vamos dividir a integral em duas partes:
Primeiro, resolvemos , que é uma forma padrão cuja integral é .
Para a segunda integral, completamos o quadrado no denominador :
Então, a integral fica:
Podemos separar em duas partes:
Essas integrais são também formas padrão. A primeira é o logaritmo natural, e a segunda é uma função arctan.

Resposta

Juntando tudo, a integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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