Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de uma fração algébrica:
Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de frações parciais. A ideia é quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Como o denominador é um produto de dois polinômios de segundo grau que não se fatoram mais, nossa fração vai se decompor da seguinte maneira:
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da igualdade por
. Ficando assim:
Passo 4
Expandindo os produtos no lado direito:
Agora, vamos organizar os termos por potência de x:
Passo 5
Com isso, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de x:
-
: -
: -
: - Constante:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar A, B, C e D.
Passo 6
Da quarta equação, podemos simplificar:
Usando a primeira equação
, podemos expressar C em termos de A:
Substituindo D e C nas outras equações:
Na segunda equação:
Então, C = 2 - 0 = 2.
Agora, voltando à terceira equação:
E como D = -B:
Passo 7
Agora que temos A, B, C e D, substituímos de volta na decomposição:
Simplificando:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 8
Vamos dividir a integral em duas partes:
Primeiro, resolvemos
, que é uma forma padrão cuja integral é
.
Para a segunda integral, completamos o quadrado no denominador
:
Então, a integral fica:
Podemos separar em duas partes:
Essas integrais são também formas padrão. A primeira é o logaritmo natural, e a segunda é uma função arctan.
Resposta
Juntando tudo, a integral é igual a:
Onde
é a constante de integração.
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