Calcule as seguintes integrais: integral (2 x^3+9 x) d x(x^2+3)(x^2-2 x+3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de uma fração algébrica:
integral 2x^3 + 9x(x^2 + 3)(x^2 - 2x + 3) , dx
Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de frações parciais. A ideia é quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Como o denominador é um produto de dois polinômios de segundo grau que não se fatoram mais, nossa fração vai se decompor da seguinte maneira:
2x^3 + 9x(x^2 + 3)(x^2 - 2x + 3) = Ax + Bx^2 + 3 + Cx + Dx^2 - 2x + 3
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da igualdade por 2x^3 + 9x = (Ax + B)(x^2 - 2x + 3) + (Cx + D)(x^2 + 3) . Ficando assim:

Passo 4

Expandindo os produtos no lado direito:
2x^3 + 9x = A x^3 - 2A x^2 + 3A x + B x^2 - 2B x + 3B + C x^3 + 3C x + D x^2 + 3D
Agora, vamos organizar os termos por potência de x:
2x^3 + 9x = (A + C) x^3 + (-2A + B + D) x^2 + (3A - 2B + 3C) x + (3B + 3D)

Passo 5

Com isso, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de x:
  1. :
  2. :
  3. :
  4. Constante:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar A, B, C e D.

Passo 6

Da quarta equação, podemos simplificar:
3B + 3D = 0 implies B + D = 0 implies D = -B
Usando a primeira equação C = 2 - A , podemos expressar C em termos de A:
-2A + B - B = -2A = 0 implies A = 0
Substituindo D e C nas outras equações:
Na segunda equação:
3(0) - 2B + 3(2) = -2B + 6 = 9 implies -2B = 3 implies B = -32
Então, C = 2 - 0 = 2.
Agora, voltando à terceira equação:
D = 32
E como D = -B:

Passo 7

Agora que temos A, B, C e D, substituímos de volta na decomposição:
2x^3 + 9x(x^2 + 3)(x^2 - 2x + 3) = 0x - 32x^2 + 3 + 2x + 32x^2 - 2x + 3
Simplificando:
2x^3 + 9x(x^2 + 3)(x^2 - 2x + 3) = -32x^2 + 3 + 2x + 32x^2 - 2x + 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 8

Vamos dividir a integral em duas partes:
integral 2x^3 + 9x(x^2 + 3)(x^2 - 2x + 3) , dx = -32 integral 1x^2 + 3 , dx + integral 2x + 32x^2 - 2x + 3 , dx
Primeiro, resolvemos x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2 , que é uma forma padrão cuja integral é integral 2x + 32(x - 1)^2 + 2 , dx .
Para a segunda integral, completamos o quadrado no denominador 2 integral x - 1(x - 1)^2 + 2 , dx + 52 integral 1(x - 1)^2 + 2 , dx :
Então, a integral fica:
Podemos separar em duas partes:
Essas integrais são também formas padrão. A primeira é o logaritmo natural, e a segunda é uma função arctan.

Resposta

Juntando tudo, a integral é igual a:
-32raiz3 arctan(xraiz3) + ln((x - 1)^2 + 2) + 52raiz2 arctan(x - 1raiz2) + C
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados