Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. A gente vai usar o conteúdo de frações parciais, que ajuda a quebrar uma fração complicada em partes mais simples para facilitar a integração. Precisamos entender como decompor essa fração antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração
em termos de frações parciais. Sabemos que podemos expressar isso como:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
- De
temos . - De
e sabendo que , temos . - Já sabemos que
.
Então,
,
e
.
Passo 6
Substituindo
,
e
na expressão das frações parciais, temos:
Podemos separar isso em duas integrais:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 8
Integrando
:
Fazemos uma substituição
, então
, ou seja,
.
Então:
Passo 9
Integrando
:
Sabemos que
, onde
.
Então:
Passo 10
Somando todas as partes:
Resposta
A integral
é igual a:
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