Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A gente vai usar o conteúdo de frações parciais, que ajuda a quebrar uma fração complicada em partes mais simples para facilitar a integração. Precisamos entender como decompor essa fração antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração em termos de frações parciais. Sabemos que podemos expressar isso como:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Para encontrar os valores de , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. De temos .
  2. De e sabendo que , temos .
  3. Já sabemos que .
Então, , e .

Passo 6

Substituindo , e na expressão das frações parciais, temos:
Podemos separar isso em duas integrais:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 8

Integrando :
Fazemos uma substituição , então , ou seja, .
Então:

Passo 9

Integrando :
Sabemos que , onde .
Então:

Passo 10

Somando todas as partes:

Resposta

A integral é igual a:

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