Calcule as seguintes integrais: integral (x+4) d xx(x^2+4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A gente vai usar o conteúdo de frações parciais, que ajuda a quebrar uma fração complicada em partes mais simples para facilitar a integração. Precisamos entender como decompor essa fração antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração x+4x(x^2+4) = Ax + Bx + Cx^2+4 em termos de frações parciais. Sabemos que podemos expressar isso como:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Para encontrar os valores de x + 4 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x , x + 4 = A x^2 + 4A + B x^2 + C x e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
x + 4 = (A + B)x^2 + Cx + 4A
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. De temos .
  2. De e sabendo que , temos .
  3. Já sabemos que .
Então, , e .

Passo 6

Substituindo x+4x(x^2+4) = 1x + -x + 1x^2+4 , integral 1x , dx + integral -x + 1x^2+4 , dx e na expressão das frações parciais, temos:
Podemos separar isso em duas integrais:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral 1x , dx = ln|x| + C1
Segunda integral:
integral -x + 1x^2+4 , dx = integral -xx^2+4 , dx + integral 1x^2+4 , dx

Passo 8

Integrando integral -xx^2+4 , dx = -12 integral duu = -12 ln|u| + C2 = -12 ln(x^2+4) + C2 :
Fazemos uma substituição , então , ou seja, .
Então:

Passo 9

Integrando integral 1x^2+4 , dx = 12 tan^-1(x2) + C3 :
Sabemos que , onde .
Então:

Passo 10

Somando todas as partes:
ln|x| - 12 ln(x^2+4) + 12 tan^-1(x2) + C

Resposta

A integral ln|x| - 12 ln(x^2+4) + 12 tan^-1(x2) + C é igual a:

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