Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a . Isso entra no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente em integrais que envolvem expressões com raízes quadradas de funções quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica para integrar funções que têm a forma de uma raiz quadrada de uma diferença de quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma que temos na integral: , onde porque . Sabemos que para integrar funções dessa forma, uma boa estratégia é usar a substituição trigonométrica .

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Com isso, a derivada de em relação a será . Agora, vamos substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

A integral de é conhecida e é igual a , onde é a constante de integração. Então:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original . Sabemos que , então . Também, usando uma identidade trigonométrica, .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão logarítmica:
Podemos simplificar a constante multiplicativa dentro do logaritmo absorvendo-a na constante , então:

Resposta

A integral de em relação a é:

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Resolva, no conjunto , as seguinbe equagós.
a)
Encontre a solução geral de cada um dos sistemas dados e esboce o plano de fase:
Calcule os seguintes limites: