Calcule as seguintes integrais: integral 1raizx^2-9 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a . Isso entra no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente em integrais que envolvem expressões com raízes quadradas de funções quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica para integrar funções que têm a forma de uma raiz quadrada de uma diferença de quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma que temos na integral: , onde porque . Sabemos que para integrar funções dessa forma, uma boa estratégia é usar a substituição trigonométrica .

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Com isso, a derivada de em relação a será . Agora, vamos substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral 1raiz(3 sectheta)^2 - 9 cdot 3 sectheta tantheta dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz9 sec^2theta - 9 = raiz9 (sec^2theta - 1) = raiz9 tan^2theta = 3 tantheta
Então, a integral fica:
integral 13 tantheta cdot 3 sectheta tantheta dtheta = integral sectheta dtheta

Passo 5

A integral de integral sectheta dtheta = ln|sectheta + tantheta| + C é conhecida e é igual a , onde é a constante de integração. Então:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original . Sabemos que , então . Também, usando uma identidade trigonométrica, .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão logarítmica:
ln|x3 + raizx^2 - 93| + C = ln|x + raizx^2 - 93| + C
Podemos simplificar a constante multiplicativa dentro do logaritmo absorvendo-a na constante ln|x + raizx^2 - 9| + C , então:

Resposta

A integral de ln|x + raizx^2 - 9| + C em relação a é:

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