Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a . Isso entra no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente em integrais que envolvem expressões com raízes quadradas de funções quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica para integrar funções que têm a forma de uma raiz quadrada de uma diferença de quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma que temos na integral: , onde porque . Sabemos que para integrar funções dessa forma, uma boa estratégia é usar a substituição trigonométrica .
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Com isso, a derivada de em relação a será . Agora, vamos substituir e na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
A integral de é conhecida e é igual a , onde é a constante de integração. Então:
Passo 6
Agora, precisamos voltar à variável original . Sabemos que , então . Também, usando uma identidade trigonométrica, .
Passo 7
Substituindo de volta na expressão logarítmica:
Podemos simplificar a constante multiplicativa dentro do logaritmo absorvendo-a na constante , então: