Encontre a solução geral de cada um dos sistemas dados e esboce o plano de fase:

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações diferenciais dado por
Neste exercício, vamos utilizar o conteúdo de sistemas lineares de equações diferenciais. Para encontrar a solução geral, precisaremos determinar os valores próprios e os vetores próprios da matriz dos coeficientes. Isso nos ajudará a construir a solução baseada em combinações dessas soluções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz
Os valores próprios ( ) são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Então:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os valores próprios são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher .

Passo 4

Com os valores e vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução é da forma:
Portanto, a solução geral é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada valor próprio:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Para esboçar o plano de fase, observamos os valores próprios negativos, indicando que a origem é um ponto de nó estável. As soluções se aproximam da origem ao longo das direções dos vetores próprios e . As trajetórias no plano de fase seguirão linhas curvas que se aproximam dessas direções conforme aumenta.

Resposta

A solução geral do sistema é
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais. O plano de fase é um nó estável, com trajetórias convergindo para a origem ao longo das direções dos vetores próprios e .

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral real de cada problema de valor inicial dado:
Resolva os PVIs:
Resolva, no conjunto , as seguinbe equagós.
a)
Calcule as seguintes integrais: