Encontre a solução geral de cada um dos sistemas dados e esboce o plano de fase:
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações diferenciais dado por
Neste exercício, vamos utilizar o conteúdo de sistemas lineares de equações diferenciais. Para encontrar a solução geral, precisaremos determinar os valores próprios e os vetores próprios da matriz dos coeficientes. Isso nos ajudará a construir a solução baseada em combinações dessas soluções básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz
Os valores próprios (
) são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Então:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os valores próprios são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação
, ou seja,
. Podemos escolher
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação
, ou seja,
. Podemos escolher
.
Passo 4
Com os valores e vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução é da forma:
Portanto, a solução geral é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada valor próprio:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Para esboçar o plano de fase, observamos os valores próprios negativos, indicando que a origem é um ponto de nó estável. As soluções se aproximam da origem ao longo das direções dos vetores próprios
e
. As trajetórias no plano de fase seguirão linhas curvas que se aproximam dessas direções conforme
aumenta.
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. O plano de fase é um nó estável, com trajetórias convergindo para a origem ao longo das direções dos vetores próprios
e
.
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Resolva, no conjunto
, as seguinbe equagós.
a)
a)
Calcule as seguintes integrais: