é uniformemente convergente em . Você pode aplicar o Critério de Weierstrass, mas tome cuidado para aplicá-lo corretamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série
é uniformemente convergente em todos os números reais . Para isso, vamos usar o Critério M de Weierstrass. Esse critério nos ajuda a testar a convergência uniforme de séries de funções, garantindo que a série convirja de forma controlada, independente de . Vamos precisar entender como aplicar esse critério corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Critério M de Weierstrass. Ele diz que se conseguirmos encontrar uma sequência de números tal que para todo no domínio,
e se a série converge, então a série original converge uniformemente.
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo geral da nossa série:
Queremos encontrar um que seja independente de e que satisfaça:
Para isso, vamos primeiro usar algumas propriedades da função seno.
Passo 4
Sabemos que para todo valor real, o seno está limitado:
Portanto,
Logo,
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão . Note que , então:
Portanto,
Então, podemos escolher:
Passo 6
Agora, verificamos se a série converge:
Essa é a famosa série p com , que sabemos que converge (pois ).
Passo 7
Como encontramos tal que para todo ,
e como a série converge, pelo Critério M de Weierstrass, concluímos que a série original