Verifique que a série
sumn=1^infty n^2 sen^3(x n)x^4+n^4
é uniformemente convergente em R. Você pode aplicar o Critério M de Weierstrass, mas tome cuidado para aplicá-lo corretamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série
sumn=1^infty n^2 sen^3(x n)x^4 + n^4
é uniformemente convergente em todos os números reais R. Para isso, vamos usar o Critério M de Weierstrass. Esse critério nos ajuda a testar a convergência uniforme de séries de funções, garantindo que a série convirja de forma controlada, independente de x. Vamos precisar entender como aplicar esse critério corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Critério M de Weierstrass. Ele diz que se conseguirmos encontrar uma sequência de números Mn tal que para todo x no domínio,
| n^2 sen^3(x n)x^4 + n^4 | <= Mn
e se a série sumn=1^infty Mn converge, então a série original converge uniformemente.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo geral da nossa série:
an(x) = n^2 sen^3(x n)x^4 + n^4
Queremos encontrar um Mn que seja independente de x e que satisfaça:
|an(x)| <= Mn
Para isso, vamos primeiro usar algumas propriedades da função seno.

Passo 4

Sabemos que para todo valor real, o seno está limitado:
|sen(x n)| <= 1
Portanto,
|sen^3(x n)| = |sen(x n)|^3 <= 1^3 = 1
Logo,
|an(x)| = | n^2 sen^3(x n)x^4 + n^4 | <= n^2x^4 + n^4

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão n^2x^4 + n^4. Note que x^4 >= 0, então:
x^4 + n^4 >= n^4
Portanto,
n^2x^4 + n^4 <= n^2n^4 = 1n^2
Então, podemos escolher:
Mn = 1n^2

Passo 6

Agora, verificamos se a série sumn=1^infty Mn converge:
sumn=1^infty 1n^2
Essa é a famosa série p com p = 2, que sabemos que converge (pois p > 1).

Passo 7

Como encontramos Mn = 1n^2 tal que para todo x in R,
|an(x)| <= Mn
e como a série sumn=1^infty Mn converge, pelo Critério M de Weierstrass, concluímos que a série original
sumn=1^infty n^2 sen^3(x n)x^4 + n^4
é uniformemente convergente em R.

Resposta

A série é uniformemente convergente em R.

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