Verifique que a série
é uniformemente convergente em . Você pode aplicar o Critério de Weierstrass, mas tome cuidado para aplicá-lo corretamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série
é uniformemente convergente em todos os números reais . Para isso, vamos usar o Critério M de Weierstrass. Esse critério nos ajuda a testar a convergência uniforme de séries de funções, garantindo que a série convirja de forma controlada, independente de . Vamos precisar entender como aplicar esse critério corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Critério M de Weierstrass. Ele diz que se conseguirmos encontrar uma sequência de números tal que para todo no domínio,
e se a série converge, então a série original converge uniformemente.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo geral da nossa série:
Queremos encontrar um que seja independente de e que satisfaça:
Para isso, vamos primeiro usar algumas propriedades da função seno.

Passo 4

Sabemos que para todo valor real, o seno está limitado:
Portanto,
Logo,

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão . Note que , então:
Portanto,
Então, podemos escolher:

Passo 6

Agora, verificamos se a série converge:
Essa é a famosa série p com , que sabemos que converge (pois ).

Passo 7

Como encontramos tal que para todo ,
e como a série converge, pelo Critério M de Weierstrass, concluímos que a série original
é uniformemente convergente em .

Resposta

A série é uniformemente convergente em .

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Calcule as seguintes integrais:
Resolva, no conjunto , as seguinbe equagós.
a)
Calcule os seguintes limites:
Determine a solução da EDO
usando a teoria de série de potências. Depois deduza explicitamente seu raio de convergência.