Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva definida por duas equações paramétricas: e , onde . Nosso objetivo aqui é encontrar a equação cartesiana dessa curva e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar relacionar e sem o parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar o parâmetro . Olhando para a equação , podemos facilmente isolar em termos de :
Isso nos permite substituir na outra equação.

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos substituir isso na equação de :
Substituindo:
Então, a equação já está em termos de e , sem o parâmetro .

Passo 4

Vamos agora escrever a equação cartesiana completa. Considerando a substituição que fizemos e o domínio de dado ( ), temos que:
E como e , isso implica que .

Passo 5

Com a equação , podemos identificar que essa é a equação de uma hipérbole. Para esboçar o gráfico, lembrando que apenas valores de onde são válidos. O gráfico será baseado nos ramos superiores da hipérbole, já que é a raiz positiva.

Resposta

A equação cartesiana da curva é para . O gráfico é uma hipérbole com ramos superiores, definidos para valores de maiores ou iguais a 1 e menores ou iguais a -1.

Exercícios relacionados

Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
Seja :
, utilizando derivadas parciais calcule:
, utilizando derivadas parciais calcule:
  • Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
    а)
    Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição . Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
    a) Lembre da propriedade do logaritmo: .
Calcule uma das seguintes integrais