Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva definida por duas equações paramétricas: e , onde . Nosso objetivo aqui é encontrar a equação cartesiana dessa curva e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar relacionar e sem o parâmetro .
Passo 2
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro . Olhando para a equação , podemos facilmente isolar em termos de :
Isso nos permite substituir na outra equação.
Passo 3
Agora que sabemos que , vamos substituir isso na equação de :
Substituindo:
Então, a equação já está em termos de e , sem o parâmetro .
Passo 4
Vamos agora escrever a equação cartesiana completa. Considerando a substituição que fizemos e o domínio de dado (), temos que:
E como e , isso implica que .
Passo 5
Com a equação , podemos identificar que essa é a equação de uma hipérbole. Para esboçar o gráfico, lembrando que apenas valores de onde são válidos. O gráfico será baseado nos ramos superiores da hipérbole, já que é a raiz positiva.
Resposta
A equação cartesiana da curva é para . O gráfico é uma hipérbole com ramos superiores, definidos para valores de maiores ou iguais a 1 e menores ou iguais a -1.