• Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
    а)
    Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição . Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
    a) Lembre da propriedade do logaritmo: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 8a juntos! O enunciado pede para encontrarmos a forma fechada da série:
E também verificar se essa série converge ou diverge. Se convergir, temos que descobrir o valor da soma. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos logaritmos e entender como somas infinitas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que a soma de logaritmos é igual ao logaritmo do produto:
Aplicando isso na nossa série, temos:

Passo 3

Observe que, no produto dentro do logaritmo, muitos termos se cancelam. Vamos escrever isso de forma mais clara:
Perceba que no numerador temos o fatorial de ( ) e no denominador temos , que é igual a dividido por 1:

Passo 4

Agora, substituindo de volta na expressão do logaritmo:
Portanto, a soma parcial da série até o n-ésimo termo é:

Passo 5

Para determinar a convergência ou divergência da série, precisamos calcular o limite da soma parcial quando tende ao infinito:

Passo 6

Vamos calcular esse limite:
Sabemos que é indefinido e, na verdade, tende a . Isso significa que a soma da série tende a , ou seja, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois sua soma tende a .

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Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
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Calcule uma das seguintes integrais
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Calcule a área entre os gráficos de e neste intervalo.