• Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
    а) ln (12)+ln (23)+ln (34)+cdots+ln (nn+1)+cdots
    Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição sumn=1^infty an=lim N infty sumn=1^N an. Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
    a) Lembre da propriedade do logaritmo: ln (x)+ln (y)=ln (x y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 8a juntos! O enunciado pede para encontrarmos a forma fechada da série:
ln (12) + ln (23) + ln (34) + cdots + ln (nn+1) + cdots
E também verificar se essa série converge ou diverge. Se convergir, temos que descobrir o valor da soma. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos logaritmos e entender como somas infinitas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que a soma de logaritmos é igual ao logaritmo do produto:
ln(a) + ln(b) = ln(a cdot b)
Aplicando isso na nossa série, temos:
ln (12) + ln (23) + ln (34) + cdots + ln (nn+1) = ln ( 12 cdot 23 cdot 34 cdot cdots cdot nn+1 )

Passo 3

Observe que, no produto dentro do logaritmo, muitos termos se cancelam. Vamos escrever isso de forma mais clara:
12 cdot 23 cdot 34 cdot cdots cdot nn+1 = 1 cdot 2 cdot 3 cdot cdots cdot n2 cdot 3 cdot 4 cdot cdots cdot (n+1)
Perceba que no numerador temos o fatorial de n!(n+1)! = 1n+1 ( ) e no denominador temos , que é igual a dividido por 1:

Passo 4

Agora, substituindo de volta na expressão do logaritmo:
ln ( 1n+1 )
Portanto, a soma parcial da série até o n-ésimo termo é:
Sn = ln ( 1n+1 )

Passo 5

Para determinar a convergência ou divergência da série, precisamos calcular o limite da soma parcial quando sumn=1^infty ln (nn+1) = limN to infty SN = limN to infty ln ( 1N+1 ) tende ao infinito:

Passo 6

Vamos calcular esse limite:
limN to infty ln ( 1N+1 ) = ln ( limN to infty 1N+1 ) = ln(0)
Sabemos que é indefinido e, na verdade, tende a . Isso significa que a soma da série tende a , ou seja, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois sua soma tende a .

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