- Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
а)
Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição
. Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
a) Lembre da propriedade do logaritmo:
.
а)
Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição
a) Lembre da propriedade do logaritmo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 8a juntos! O enunciado pede para encontrarmos a forma fechada da série:
E também verificar se essa série converge ou diverge. Se convergir, temos que descobrir o valor da soma. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos logaritmos e entender como somas infinitas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que a soma de logaritmos é igual ao logaritmo do produto:
Aplicando isso na nossa série, temos:
Passo 3
Observe que, no produto dentro do logaritmo, muitos termos se cancelam. Vamos escrever isso de forma mais clara:
Perceba que no numerador temos o fatorial de
(
) e no denominador temos
, que é igual a
dividido por 1:
Passo 4
Agora, substituindo de volta na expressão do logaritmo:
Portanto, a soma parcial da série até o n-ésimo termo é:
Passo 5
Para determinar a convergência ou divergência da série, precisamos calcular o limite da soma parcial quando
tende ao infinito:
Passo 6
Vamos calcular esse limite:
Sabemos que
é indefinido e, na verdade, tende a
. Isso significa que a soma da série tende a
, ou seja, a série diverge.
Resposta
A série
diverge, pois sua soma tende a
.
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Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
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Calcule uma das seguintes integrais
Considere as funções
e
. Estabeleça o maior intervalo do dominio comum a ambas tal que
Calcule a área entre os gráficos de
e
neste intervalo.