Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral que envolve uma fração com no denominador e uma raiz quadrada no numerador: Vamos precisar usar técnicas de substituição para resolver essa integral, especialmente porque temos uma expressão dentro da raiz quadrada que depende de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que sugere uma substituição trigonométrica. Mas aí pode complicar, então vamos tentar uma substituição mais direta. Vamos definir: Isso significa que: Diferenciando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir e na integral original: Mas sabemos que a partir de , podemos expressar . Então: Isso nos dá: Parece que ainda temos na expressão. Vamos expressar em termos de : Então a integral fica: Isso ainda é complicado, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos tentar uma substituição diferente para simplificar. Definimos: Então: Substituindo na integral: Simplificando a expressão dentro da raiz: Então a integral se torna:

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples: Vamos fazer uma substituição interna: Substituindo na integral: Integrando:

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta: Simplificando a raiz:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Calcule as seguintes integrais: