Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral que envolve uma fração com
no denominador e uma raiz quadrada no numerador:
Vamos precisar usar técnicas de substituição para resolver essa integral, especialmente porque temos uma expressão dentro da raiz quadrada que depende de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que
sugere uma substituição trigonométrica. Mas aí pode complicar, então vamos tentar uma substituição mais direta.
Vamos definir:
Isso significa que:
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Mas sabemos que a partir de
, podemos expressar
. Então:
Isso nos dá:
Parece que ainda temos
na expressão. Vamos expressar
em termos de
:
Então a integral fica:
Isso ainda é complicado, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Vamos tentar uma substituição diferente para simplificar. Definimos:
Então:
Substituindo na integral:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então a integral se torna:
Passo 5
Agora, temos uma integral mais simples:
Vamos fazer uma substituição interna:
Substituindo na integral:
Integrando:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando a raiz:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.