(6,0) Calcule as seguintes integrais: integral 1x^2 raizx^2-5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral que envolve uma fração com integral 1x^2 raizx^2-5 , dx no denominador e uma raiz quadrada no numerador:
Vamos precisar usar técnicas de substituição para resolver essa integral, especialmente porque temos uma expressão dentro da raiz quadrada que depende de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que u = raizx^2 - 5 sugere uma substituição trigonométrica. Mas aí pode complicar, então vamos tentar uma substituição mais direta.
Vamos definir:
u = raizx^2 - 5 Rightarrow u^2 = x^2 - 5
Isso significa que:
2u dudx = 2x Rightarrow dudx = xu Rightarrow dx = ux du
Diferenciando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir integral 1x^2 cdot u cdot ux du = integral 1x^3 du e x^3 = x cdot x^2 = x(u^2 + 5) na integral original:
integral 1x(u^2 + 5) du
Mas sabemos que a partir de x = raizu^2 + 5 , podemos expressar integral 1raizu^2 + 5 (u^2 + 5) du . Então:
Isso nos dá:
Parece que ainda temos na expressão. Vamos expressar em termos de :
Então a integral fica:
Isso ainda é complicado, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos tentar uma substituição diferente para simplificar. Definimos:
t = 1x
Então:
dt = -1x^2 dx Rightarrow dx = -x^2 dt = -1t^2 dt
Substituindo na integral:
integral 1x^2 raizx^2-5 dx = integral 1x^2 raiz1t^2 - 5 cdot (-1t^2) dt
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz1 - 5t^2t^2 = raiz1 - 5t^2t
Então a integral se torna:
- integral 1x^2 cdot 1raiz1 - 5t^2t cdot 1t^2 dt = - integral traiz1 - 5t^2 dt

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
- integral traiz1 - 5t^2 dt
Vamos fazer uma substituição interna:
v = 1 - 5t^2 Rightarrow dv = -10t , dt Rightarrow t , dt = -dv10
Substituindo na integral:
- integral traizv dt = - integral -dv10raizv = 110 integral v^-1/2 dv
Integrando:
110 cdot 2v^1/2 + C = 15 raizv + C = 15 raiz1 - 5t^2 + C

Passo 6

Lembrando que 15 raiz1 - 5(1x)^2 + C = 15 raiz1 - 5x^2 + C = 15 raizx^2 - 5x^2 + C , substituímos de volta:
15 cdot raizx^2 - 5x + C = raizx^2 - 55x + C
Simplificando a raiz:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados