Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral que envolve uma fração com no denominador e uma raiz quadrada no numerador:
Vamos precisar usar técnicas de substituição para resolver essa integral, especialmente porque temos uma expressão dentro da raiz quadrada que depende de .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que sugere uma substituição trigonométrica. Mas aí pode complicar, então vamos tentar uma substituição mais direta.
Vamos definir:
Isso significa que:
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Passo 3
Agora, vamos substituir e na integral original:
Mas sabemos que a partir de , podemos expressar . Então:
Isso nos dá:
Parece que ainda temos na expressão. Vamos expressar em termos de :
Então a integral fica:
Isso ainda é complicado, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Vamos tentar uma substituição diferente para simplificar. Definimos:
Então:
Substituindo na integral:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então a integral se torna:
Passo 5
Agora, temos uma integral mais simples:
Vamos fazer uma substituição interna:
Substituindo na integral:
Integrando:
Passo 6
Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando a raiz:
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.