integralpi3^pi2 cos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com integração envolvendo potências de funções trigonométricas, especificamente o cosseno elevado ao cubo. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a identidade trigonométrica que relaciona com , além de aplicar uma substituição u = .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cos^3 x = cos^2 x cdot cos x de uma forma que facilite a integração. Podemos expressar como . Assim:

Passo 3

Agora, lembramos da identidade trigonométrica fundamental: cos^3 x = (1 - sin^2 x) cdot cos x . Vamos substituir isso na expressão:

Passo 4

Com essa substituição, a integral fica:
integralpi3^pi2 (1 - sin^2 x) cdot cos x , dx

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo integral (1 - u^2) , du na integral, temos:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 1 , du - integral u^2 , du = u - u^33 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Como estamos lidando com uma integral definida, vamos avaliar entre os limites de integração. Primeiro, precisamos ajustar os limites para a variável u = sin(pi3) = raiz32 :
Quando u = sin(pi2) = 1 ,
Quando ,

Passo 9

Agora, substituímos os limites na expressão integrada:
[ u - u^33 ]raiz32^1 = (1 - 13) - (raiz32 - (raiz32)^33)

Passo 10

Vamos calcular cada parte:
Para 1 - 13 = 23 :
raiz32 - (raiz32)^33 = raiz32 - 3raiz383 = raiz32 - raiz38 = 4raiz38 - raiz38 = 3raiz38
Para :

Passo 11

Subtraindo os dois resultados:
23 - 3raiz38 = 1624 - 9raiz324 = 16 - 9raiz324

Resposta

A integral é igual a .

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