Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com integração envolvendo potências de funções trigonométricas, especificamente o cosseno elevado ao cubo. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a identidade trigonométrica que relaciona com , além de aplicar uma substituição u = .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a integração. Podemos expressar como . Assim:

Passo 3

Agora, lembramos da identidade trigonométrica fundamental: . Vamos substituir isso na expressão:

Passo 4

Com essa substituição, a integral fica:

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo na integral, temos:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Como estamos lidando com uma integral definida, vamos avaliar entre os limites de integração. Primeiro, precisamos ajustar os limites para a variável :
Quando ,
Quando ,

Passo 9

Agora, substituímos os limites na expressão integrada:

Passo 10

Vamos calcular cada parte:
Para :
Para :

Passo 11

Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

O limite de , quando , sobre a reta
a) é igual a
b) é igual a 0
c) é igual a -2
d) não existe
e) nenhuma das alternativas anteriores.
Calcule as seguintes integrais: