Calcule as seguintes integrais.
integral(2t^2-1, 2 tt^2+1, 2t^2+1) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa calcular três integrais diferentes. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de integração como frações parciais e substituição. Vamos precisar entender como quebrar as frações e aplicar substituições para facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos começar pela primeira integral:
integral 2t^2 - 1 , dt
Primeiro, observe que o denominador 2t^2 - 1 = At - 1 + Bt + 1 pode ser fatorado como 2 = A(t + 1) + B(t - 1) . Isso nos sugere usar frações parciais para simplificar a integral.
Assim, escrevemos:
2 = A(1 + 1) + B(1 - 1) Rightarrow 2 = 2A Rightarrow A = 1
Multiplicando ambos os lados por 2 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1) Rightarrow 2 = -2B Rightarrow B = -1 :
2t^2 - 1 = 1t - 1 - 1t + 1
Agora, escolhemos valores para integral ( 1t - 1 - 1t + 1 ) , dt = ln|t - 1| - ln|t + 1| + C que simplificam a equação:
  • Se ln| t - 1t + 1 | + C :
  • Se :
Portanto, a fração pode ser escrita como:
Agora, integramos termo a termo:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda integral:
integral 2tt^2 + 1 , dt
Aqui, podemos usar a substituição simples. Vamos definir dudt = 2t Rightarrow du = 2t , dt . Então, a derivada de integral 2tt^2 + 1 , dt = integral duu = ln|u| + C = ln(t^2 + 1) + C em relação a é:
Isso significa que . Substituindo na integral:

Passo 4

Por fim, vamos resolver a terceira integral:
integral 2t^2 + 1 , dt
Essa integral é uma forma padrão que envolve a função arco-tangente. A integral de integral 2t^2 + 1 , dt = 2 arctan(t) + C é . Portanto:

Resposta

As integrais são:

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