Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa calcular três integrais diferentes. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de integração como frações parciais e substituição. Vamos precisar entender como quebrar as frações e aplicar substituições para facilitar a resolução.
Passo 2
Vamos começar pela primeira integral:
Primeiro, observe que o denominador pode ser fatorado como . Isso nos sugere usar frações parciais para simplificar a integral.
Assim, escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, escolhemos valores para que simplificam a equação:
Se :
Se :
Portanto, a fração pode ser escrita como:
Agora, integramos termo a termo:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda integral:
integral 2tt^2 + 1 , dt
Aqui, podemos usar a substituição simples. Vamos definir dudt = 2t Rightarrow du = 2t , dt . Então, a derivada de integral 2tt^2 + 1 , dt = integral duu = ln|u| + C = ln(t^2 + 1) + C em relação a é:
Isso significa que . Substituindo na integral:
Passo 4
Por fim, vamos resolver a terceira integral:
integral 2t^2 + 1 , dt
Essa integral é uma forma padrão que envolve a função arco-tangente. A integral de integral 2t^2 + 1 , dt = 2 arctan(t) + C é . Portanto: