Deticrmine o comprimento de arco das seguinte curvas.
r(t) = (arctan(t), ln(1+t^2), 2t - 2 arctan(t)), 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o comprimento de arco de uma curva definida pela função vetorial:
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de comprimento de arco de uma curva no espaço tridimensional.
O que vamos precisar: A fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva vetorial e saber como derivar funções componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva vetorial no intervalo :
Aqui, é a derivada da função vetorial, e representa a norma (ou módulo) dessa derivada.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada componente de :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :

Passo 4

Agora, temos a derivada da função vetorial:
Precisamos calcular a norma dessa derivada:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
  1. Primeiro, calculemos cada termo ao quadrado:
  1. Somando todos os termos:

Passo 6

Vamos simplificar a fração dentro da raiz:
No entanto, observando melhor, vemos que:
Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos a norma na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a fração dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Calculando as integrais separadamente:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
Vamos simplificar:
Então:
Calculando:
Portanto:

Passo 9

Agora, somamos as duas integrais:

Resposta

O comprimento de arco da curva é:
Aproximadamente, isso é igual a unidades.

Exercícios relacionados

Deticrmine o comprimento de arco das seguinte curvas.
r(t) = (4t, 3 cos t, 3 sen t), 0 <= t <= 3 pi
Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
lim t 0(ln t, raizt^2+1, t-3)
Calcule as seguintes integrais.
integral(2t^2-1, 2 tt^2+1, 2t^2+1) d t
Calcule as seguintes integrais.
integral0^1(2 t e^4 t, 4t^2+5 t+6, 4 tt^2+1) d t