Deticrmine o comprimento de arco das seguinte curvas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o comprimento de arco de uma curva definida pela função vetorial:
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de comprimento de arco de uma curva no espaço tridimensional.
O que vamos precisar: A fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva vetorial e saber como derivar funções componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco
de uma curva vetorial
no intervalo
:
Aqui,
é a derivada da função vetorial, e
representa a norma (ou módulo) dessa derivada.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de cada componente de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 4
Agora, temos a derivada da função vetorial:
Precisamos calcular a norma dessa derivada:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
- Primeiro, calculemos cada termo ao quadrado:
- Somando todos os termos:
Passo 6
Vamos simplificar a fração dentro da raiz:
No entanto, observando melhor, vemos que:
Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos a norma na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a fração dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Calculando as integrais separadamente:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Vamos simplificar:
Então:
Calculando:
Portanto:
Passo 9
Agora, somamos as duas integrais:
Resposta
O comprimento de arco da curva é:
Aproximadamente, isso é igual a
unidades.
Exercícios relacionados
Deticrmine o comprimento de arco das seguinte curvas.
r(t) = (4t, 3 cos t, 3 sen t), 0 <= t <= 3 pi
Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
lim t 0(ln t, raizt^2+1, t-3)
Calcule as seguintes integrais.
integral(2t^2-1, 2 tt^2+1, 2t^2+1) d t
Calcule as seguintes integrais.
integral0^1(2 t e^4 t, 4t^2+5 t+6, 4 tt^2+1) d t