Deticrmine o comprimento de arco das seguinte curvas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente determinar o comprimento de arco da curva definida por
no intervalo de
de
até
. Isso entra no conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente na parte de comprimento de arco de curvas parametrizadas. Para resolver, vamos precisar da fórmula do comprimento de arco para funções vetoriais, que nos ajuda a calcular a distância total percorrida ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco
de uma curva parametrizada por
:
Aqui,
é a derivada vetorial de
, e
representa a norma (ou magnitude) dessa derivada. Nosso próximo passo é calcular
.
Passo 3
Vamos derivar cada componente de
:
A derivada de cada componente em relação a
é:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a magnitude de
, que é dada por:
Calculando cada parte:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Sabemos que
, então:
Passo 6
Com a magnitude constante igual a 5, o comprimento de arco
é:
Esse é um cálculo simples de uma integral constante.
Passo 7
Integramos:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
unidades.
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