Calcule as seguintes integrais: integral (t^2+t+1) d t(2 t+1)(t^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado nos pede para calcular a integral de em relação a . Aqui, vamos usar frações parciais, que é uma técnica de álgebra para decompor frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração t^2+t+1(2t+1)(t^2+1) = A2t+1 + Bt + Ct^2+1 em frações parciais. Sabemos que podemos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar t^2+t+1 = A(t^2+1) + (Bt + C)(2t+1) , t^2+t+1 = A t^2 + A + 2Bt^2 + Bt + 2Ct + C e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum , resultando em:
Agora, vamos expandir o lado direito:

Passo 4

Vamos organizar os termos semelhantes:
t^2+t+1 = (A + 2B) t^2 + (B + 2C) t + (A + C)
Agora, podemos igualar os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:
A + 2B = 1 B + 2C = 1 A + C = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Substituindo na segunda equação:
  4. Então,
  5. E

Passo 6

Agora que temos t^2+t+1(2t+1)(t^2+1) = 352t+1 + 15t + 25t^2+1 , 35 cdot 12t+1 + 15 cdot tt^2+1 + 25 cdot 1t^2+1 e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 35 cdot 12t+1 dt + integral 15 cdot tt^2+1 dt + integral 25 cdot 1t^2+1 dt

Passo 8

Integrando cada parte:
  1. : Fazemos uma substituição , , então . A integral fica .
  2. : Substituímos , , então . A integral fica .
  3. : Sabemos que a integral de é , então fica .

Passo 9

Juntando todas as integrais, temos:
310 ln|2t+1| + 110 ln|t^2+1| + 25 arctan(t) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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