Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado nos pede para calcular a integral de em relação a . Aqui, vamos usar frações parciais, que é uma técnica de álgebra para decompor frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Sabemos que podemos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum , resultando em:
Agora, vamos expandir o lado direito:
Passo 4
Vamos organizar os termos semelhantes:
Agora, podemos igualar os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação: → →
Substituindo na segunda equação: → → →
Então,
E
Passo 6
Agora que temos , e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Integrando cada parte:
: Fazemos uma substituição , , então . A integral fica .
: Substituímos , , então . A integral fica .
: Sabemos que a integral de é , então fica .
Passo 9
Juntando todas as integrais, temos:
Onde é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.