Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado nos pede para calcular a integral de em relação a . Aqui, vamos usar frações parciais, que é uma técnica de álgebra para decompor frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Sabemos que podemos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum , resultando em:
Agora, vamos expandir o lado direito:

Passo 4

Vamos organizar os termos semelhantes:
Agora, podemos igualar os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Substituindo na segunda equação:
  4. Então,
  5. E

Passo 6

Agora que temos , e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 8

Integrando cada parte:
  1. : Fazemos uma substituição , , então . A integral fica .
  2. : Substituímos , , então . A integral fica .
  3. : Sabemos que a integral de é , então fica .

Passo 9

Juntando todas as integrais, temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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