Encontrar o envelope das famílias de curvas
C x^2 + C^2 y = 1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A gente precisa encontrar o envelope da família de curvas dada por . O envelope é tipo uma “linha de contorno” que toca todas as curvas da família de forma que elas sejam tangentes a ele. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas, e entender como encontrar o envelope de uma família de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação da família de curvas:
Aqui, é o parâmetro que define cada curva individual na família.

Passo 3

Agora, para encontrar o envelope, precisamos achar um ponto que pertence a uma curva da família e, ao mesmo tempo, satisfaz a condição de que essa curva é tangente ao envelope nesse ponto. Matematicamente, isso significa que devemos resolver o sistema formado por e a derivada de em relação a igual a zero:

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Então, temos:
Isso nos permite expressar em termos de e :

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão de na equação original da família de curvas:
Substituindo :

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
Então, a equação fica:

Passo 7

Vamos combinar os termos:
Então:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por :
Agora, isolando :

Resposta

O envelope das famílias de curvas é dado por:

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