Encontrar o envelope das famílias de curvas
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A gente precisa encontrar o envelope da família de curvas dada por
. O envelope é tipo uma “linha de contorno” que toca todas as curvas da família de forma que elas sejam tangentes a ele. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas, e entender como encontrar o envelope de uma família de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação da família de curvas:
Aqui,
é o parâmetro que define cada curva individual na família.
Passo 3
Agora, para encontrar o envelope, precisamos achar um ponto
que pertence a uma curva da família e, ao mesmo tempo, satisfaz a condição de que essa curva é tangente ao envelope nesse ponto. Matematicamente, isso significa que devemos resolver o sistema formado por
e a derivada de
em relação a
igual a zero:
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Então, temos:
Isso nos permite expressar
em termos de
e
:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão de
na equação original da família de curvas:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Então, a equação fica:
Passo 7
Vamos combinar os termos:
Então:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, isolando
:
Resposta
O envelope das famílias de curvas
é dado por:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais: