Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Isso envolve calcular integrais de funções racionais, usando a técnica de frações parciais. A gente vai precisar fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Observando bem, dá pra tirar um fator comum de :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de frações mais simples. Assumimos a forma:
Onde , e são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Resolvendo essas equações, começamos pela última:
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, usando a primeira equação:

Passo 6

Agora que temos os valores de , e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:

Passo 7

Agora, a gente integra cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
Encontrar o envelope das famílias de curvas
Calcule as seguintes integrais: