Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
. Isso envolve calcular integrais de funções racionais, usando a técnica de frações parciais. A gente vai precisar fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Observando bem, dá pra tirar um fator comum de
:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompôr a fração
em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de frações mais simples. Assumimos a forma:
Onde
,
e
são constantes que a gente precisa encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Resolvendo essas equações, começamos pela última:
Substituindo
na segunda equação:
Finalmente, usando a primeira equação:
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:
Passo 7
Agora, a gente integra cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a:
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