Calcule as seguintes integrais: integral d xx^3+3 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Isso envolve calcular integrais de funções racionais, usando a técnica de frações parciais. A gente vai precisar fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + 3x^2 = x^2(x + 3) . Observando bem, dá pra tirar um fator comum de integral dxx^2(x + 3) :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração 1x^2(x + 3) = Ax + Bx^2 + Cx + 3 em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de frações mais simples. Assumimos a forma:
Onde , e são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A x (x + 3) + B (x + 3) + C x^2 para eliminar os denominadores:
1 = A x^2 + 3A x + B x + 3B + C x^2
Expandindo os termos:
1 = (A + C) x^2 + (3A + B) x + 3B
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para A + C = 0 :
3A + B = 0
Para 3B = 1 :
3B = 1 Rightarrow B = 13
Para o termo constante:
3A + 13 = 0 Rightarrow 3A = -13 Rightarrow A = -19
Resolvendo essas equações, começamos pela última:
A + C = 0 Rightarrow -19 + C = 0 Rightarrow C = 19
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, usando a primeira equação:

Passo 6

Agora que temos os valores de 1x^2(x + 3) = -19x + 13x^2 + 19x + 3 , 1x^2(x + 3) = -19x + 13x^2 + 19(x + 3) e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:

Passo 7

Agora, a gente integra cada termo separadamente:
integral ( -19x + 13x^2 + 19(x + 3) ) dx = -19 integral dxx + 13 integral dxx^2 + 19 integral dxx + 3
Calculando cada integral:
-19 ln|x| + 13 (-1x) + 19 ln|x + 3| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral -19 ln|x| - 13x + 19 ln|x + 3| + C é igual a:

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