Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais racionais, onde temos um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e possivelmente utilizar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador
e tentar fatorá-lo. Fatorar o denominador nos ajudará a simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 3
Vamos tentar encontrar as raízes do denominador usando o método de tentativa e erro ou a regra de fatores racionais. Testando valores, encontramos que
é uma raiz, pois substituindo:
Na verdade, percebemos que houve um erro na tentativa. Vamos usar a divisão polinomial para fatorar.
Passo 4
Dividindo
por
(supondo
como raiz), encontramos:
Agora, fatoramos o segundo polinômio:
Mas, para simplificar, podemos ajustar os coeficientes:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 5
Agora, a integral fica:
Vamos usar frações parciais para decompor a fração:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 6
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes para encontrar A, B e C.
Primeiro, escolhemos valores de x que simplificam as equações:
Primeiro, escolhemos valores de x que simplificam as equações:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora, substituímos B e C de volta na equação original e escolhemos outro valor de x, por exemplo,
:
Passo 8
Agora que temos A, B e C, podemos escrever a decomposição por frações parciais:
Assim, a integral fica:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
Portanto, a antiderivada é:
Passo 10
Agora, aplicamos os limites de 0 a 4:
Simplificando (sabendo que
):
Agrupando:
Resposta
O valor da integral definida é:
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