Calcule as seguintes integrais: integral0^4 x^2 d x2 x^3+9 x^2+12 x+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais racionais, onde temos um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e possivelmente utilizar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador e tentar fatorá-lo. Fatorar o denominador nos ajudará a simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 3

Vamos tentar encontrar as raízes do denominador usando o método de tentativa e erro ou a regra de fatores racionais. Testando valores, encontramos que 2(-1)^3 + 9(-1)^2 + 12(-1) + 4 = -2 + 9 - 12 + 4 = -1 neq 0 é uma raiz, pois substituindo:
Na verdade, percebemos que houve um erro na tentativa. Vamos usar a divisão polinomial para fatorar.

Passo 4

Dividindo 2x^3 + 9x^2 + 12x + 4 = (x + 1)(2x^2 + 7x + 4) por 2x^2 + 7x + 4 = (2x + 3)(x + 1.333) (supondo 2x^2 + 7x + 4 = (2x + 3)(x + 42) = (2x + 3)(x + 1) como raiz), encontramos:
2x^3 + 9x^2 + 12x + 4 = (x + 1)(2x + 3)(x + 1)
Agora, fatoramos o segundo polinômio:
Mas, para simplificar, podemos ajustar os coeficientes:
Portanto, o denominador fatorado fica:

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral x^2(x + 1)^2 (2x + 3) dx
Vamos usar frações parciais para decompor a fração:
x^2(x + 1)^2 (2x + 3) = Ax + 1 + B(x + 1)^2 + C2x + 3
Multiplicando ambos os lados por x^2 = A(x + 1)(2x + 3) + B(2x + 3) + C(x + 1)^2 , temos:

Passo 6

Agora, expandimos e igualamos os coeficientes para encontrar A, B e C.
Primeiro, escolhemos valores de x que simplificam as equações:
  • Para (-1)^2 = A(0) + B(2(-1) + 3) + C(0) Rightarrow 1 = B(1) Rightarrow B = 1 :
(-32)^2 = A(-32 + 1)(0) + B(0) + C(-32 + 1)^2
  • Para 94 = C(-12)^2 Rightarrow 94 = C(14) Rightarrow C = 9 :

Passo 7

Agora, substituímos B e C de volta na equação original e escolhemos outro valor de x, por exemplo, 0^2 = A(1)(3) + 1(3) + 9(1)^2 Rightarrow 0 = 3A + 3 + 9 Rightarrow 3A = -12 Rightarrow A = -4 :

Passo 8

Agora que temos A, B e C, podemos escrever a decomposição por frações parciais:
x^2(x + 1)^2 (2x + 3) = -4x + 1 + 1(x + 1)^2 + 92x + 3
Assim, a integral fica:
integral ( -4x + 1 + 1(x + 1)^2 + 92x + 3 ) dx

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
integral -4x + 1 dx = -4 ln|x + 1|
integral 1(x + 1)^2 dx = -1x + 1
integral 92x + 3 dx = 92 ln|2x + 3|
Portanto, a antiderivada é:
-4 ln|x + 1| - 1x + 1 + 92 ln|2x + 3| + C

Passo 10

Agora, aplicamos os limites de 0 a 4:
[ -4 ln(5) - 15 + 92 ln(11) ] - [ -4 ln(1) - 11 + 92 ln(3) ]
Simplificando (sabendo que -4 ln(5) - 15 + 92 ln(11) + 1 - 92 ln(3) ):
1 - 15 + -4 ln(5) + 92 (ln(11) - ln(3))
Agrupando:
45 - 4 ln(5) + 92 ln(113)

Resposta

O valor da integral definida é:
45 - 4 ln(5) + 92 ln(113)

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