Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral . Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente sobre frações parciais. Vamos precisar decompor essa fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o grau do numerador e do denominador. O numerador é de grau 4 e o denominador também é de grau . Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não precisamos fazer divisão polinomial. Vamos direto para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

A gente sabe que para frações parciais com denominadores como e , a decomposição fica assim:
Vamos multiplicar ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar os termos à direita:
Somando tudo:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação:
  1. Da quinta equação, substituindo e :
  1. Agora, da quarta equação, substituindo , e :
  1. Agora encontramos , , , e .

Passo 6

Agora que temos os valores de , , , e , vamos substituir de volta na decomposição:
Podemos simplificar isso:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para resolver esses integrais, usamos substituição e fórmulas de integrais padrão.

Resposta

Após simplificar e integrar cada parte, a solução final é:
Onde é a constante de integração.

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Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais: e
Calcule as seguintes integrais:
Seja a transformação dada por: b) Determine , onde .