Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral . Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente sobre frações parciais. Vamos precisar decompor essa fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o grau do numerador e do denominador. O numerador é de grau 4 e o denominador também é de grau . Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não precisamos fazer divisão polinomial. Vamos direto para a decomposição em frações parciais.
Passo 3
A gente sabe que para frações parciais com denominadores como e , a decomposição fica assim:
Vamos multiplicar ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar os termos à direita:
Somando tudo:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação: 2 = 4(1 - B) - B + (-1 - B) + D 2 = 4 - 4B - B -1 - B + D 2 = 3 - 6B + D Rightarrow D = -1 + 6B 2 = 4(1 - B) - 2(-1 - B) - E 2 = 4 - 4B + 2 + 2B - E 2 = 6 - 2B - E Rightarrow E = 6 - 2B - 2 = 4 - 2B -1 = -2B - (-1 - B) + (4 - 2B) - (-1 + 6B) -1 = -2B +1 + B +4 - 2B +1 -6B -1 = 5 - 9B Rightarrow -6 = -9B Rightarrow B = 69 = 23
Da segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Da quinta equação, substituindo e :
Agora, da quarta equação, substituindo , e :
Agora encontramos , , , e .
Passo 6
Agora que temos os valores de x^4-x^3+2 x^2-x+2(x-1)(x^2+2)^2 = 13x-1 + 23x - 53x^2+2 + 3x + 83(x^2+2)^2 , = 13(x - 1) + 2x - 53(x^2 + 2) + 9x + 83(x^2 + 2)^2 , , e , vamos substituir de volta na decomposição:
Podemos simplificar isso:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para resolver esses integrais, usamos substituição e fórmulas de integrais padrão.
Resposta
Após simplificar e integrar cada parte, a solução final é: