Calcule as seguintes integrais: integral x^4-x^3+2 x^2-x+2(x-1)(x^2+2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral . Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente sobre frações parciais. Vamos precisar decompor essa fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o grau do numerador e do denominador. O numerador é de grau 4 e o denominador também é de grau . Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não precisamos fazer divisão polinomial. Vamos direto para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

A gente sabe que para frações parciais com denominadores como x^4-x^3+2 x^2-x+2(x-1)(x^2+2)^2 = Ax-1 + Bx + Cx^2+2 + Dx + E(x^2+2)^2 e x^4-x^3+2 x^2-x+2 = A(x^2+2)^2 + (Bx + C)(x-1)(x^2+2) + (Dx + E)(x-1) , a decomposição fica assim:
Vamos multiplicar ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar os termos à direita:
  1. x^4-x^3+2 x^2-x+2 = A x^4 + 4A x^2 + 4A + Bx^4 + (C + B)x^3 + (-B + C + D)x^2 + (-2B - C + E - D)x + (-2C - E)
  2. x^4: & 1 = A + B x^3: & -1 = C + B x^2: & 2 = 4A - B + C + D x^1: & -1 = -2B - C + E - D x^0: & 2 = 4A - 2C - E
Somando tudo:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 2 = 4(1 - B) - B + (-1 - B) + D 2 = 4 - 4B - B -1 - B + D 2 = 3 - 6B + D Rightarrow D = -1 + 6B 2 = 4(1 - B) - 2(-1 - B) - E 2 = 4 - 4B + 2 + 2B - E 2 = 6 - 2B - E Rightarrow E = 6 - 2B - 2 = 4 - 2B -1 = -2B - (-1 - B) + (4 - 2B) - (-1 + 6B) -1 = -2B +1 + B +4 - 2B +1 -6B -1 = 5 - 9B Rightarrow -6 = -9B Rightarrow B = 69 = 23
  2. Da segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação:
  1. Da quinta equação, substituindo e :
  1. Agora, da quarta equação, substituindo , e :
  1. Agora encontramos , , , e .

Passo 6

Agora que temos os valores de x^4-x^3+2 x^2-x+2(x-1)(x^2+2)^2 = 13x-1 + 23x - 53x^2+2 + 3x + 83(x^2+2)^2 , = 13(x - 1) + 2x - 53(x^2 + 2) + 9x + 83(x^2 + 2)^2 , , e , vamos substituir de volta na decomposição:
Podemos simplificar isso:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para resolver esses integrais, usamos substituição e fórmulas de integrais padrão.

Resposta

Após simplificar e integrar cada parte, a solução final é:
13 ln|x - 1| + 16 ln|x^2 + 2| - 53raiz2 tan^-1(xraiz2) - 3x2(x^2 + 2) + 43raiz2 tan^-1(xraiz2) + C
Onde é a constante de integração.

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